QUESTÃO 3 - Mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos informados. Para cada alternativa, afirme se a orientação do contorno C é relevante ou não.
e C é o círculo
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é mostrar que
onde
é o círculo
. Isso é um exercício de Análise Complexa, mais precisamente de Teorema de Cauchy: se a função for analítica dentro e sobre o contorno, a integral fechada é zero. Vamos precisar identificar onde a função deixa de ser analítica (os polos) e ver se eles estão dentro do círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os polos de
Polos são zeros do denominador:
Note que
, então
. Nosso círculo tem raio
, ou seja, ambos os polos estão fora de
.
Passo 3
Como nenhum polo está dentro ou sobre
, a função
é analítica em toda a região interna ao contorno (incluindo a própria fronteira). Pelo Teorema de Cauchy (ou o Corolário de que “se
é analítica numa região simplesmente conexa, então
”), dá pra concluir direto que
Passo 4
E a orientação do contorno? Mesmo que você percorra
no sentido horário ou anti-horário, a integral é zero do mesmo jeito. Se você invertesse o sentido, tecnicamente o sinal da integral mudaria, mas
continua
. Logo, não faz diferença aqui.
Resposta
A orientação do contorno não é relevante.