QUESTÃO 3 - Mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos informados. Para cada alternativa, afirme se a orientação do contorno C é relevante ou não.
f(z)=3 z e^3z^2+3 e C é o círculo |z|=5 / 4

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é mostrar que
ointC3,z,e^3z^2+3,dz = 0,
onde é o círculo . Isso é um exercício de Análise Complexa, mais precisamente de Teorema de Cauchy: se a função for analítica dentro e sobre o contorno, a integral fechada é zero. Vamos precisar identificar onde a função deixa de ser analítica (os polos) e ver se eles estão dentro do círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os polos de
f(z) = 3,z,e^3z^2 + 3
Polos são zeros do denominador:
z^2 + 3 = 0 Longrightarrow z = pm iraiz3
Note que , então . Nosso círculo tem raio , ou seja, ambos os polos estão fora de .

Passo 3

Como nenhum polo está dentro ou sobre ointC 3,z,e^3z^2 + 3,dz = 0 , a função é analítica em toda a região interna ao contorno (incluindo a própria fronteira). Pelo Teorema de Cauchy (ou o Corolário de que “se é analítica numa região simplesmente conexa, então ”), dá pra concluir direto que

Passo 4

E a orientação do contorno? Mesmo que você percorra no sentido horário ou anti-horário, a integral é zero do mesmo jeito. Se você invertesse o sentido, tecnicamente o sinal da integral mudaria, mas continua . Logo, não faz diferença aqui.

Resposta

boxed0
A orientação do contorno não é relevante.

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