QUESTÃO 7 - Use a Fórmula Integral de Cauchy para calcular as integrais abaixo, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
oint|z|=2 z cos zz-i d z

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo: a questão quer que a gente calcule
oint|z|=2zcos zz - i,dz
usando a Fórmula Integral de Cauchy. Isso faz parte de Análise Complexa: a gente precisa reconhecer que a integral tem a forma
ointgammaf(z)z - z0,dz = 2pi i,f(z0)
desde que seja analítica dentro e sobre o contorno . Aqui, o contorno é o círculo e .

Passo 2

Identificar a função oint|z|=2zcos zz - i,dz = 2pi i;l[f(z)r]z=i = 2pi i,(icos i) e o ponto :
  • , que é analítica em todo .
  • , e de fato , então está dentro do círculo .
Pela Fórmula Integral de Cauchy, temos

Passo 3

Agora é só calcular f(i) = icos i :
2pi i,(icos i) = 2pi,i^2,cos i = 2pi,(-1)cos i = -2picos i
Então a integral vira

Passo 4

Se você quiser escrever -2picosh(1) de forma real, lembra que . Então a resposta também pode aparecer como

Resposta

boxed-2picos(i)l(o que equiva<= a -2picosh(1)r)

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