Questão 3. Mostre que a sequência
, converge para algum número
. Conclua que a sequência é de Cauchy.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede duas coisas:
- Mostrar que
converge para algum número com . - Concluir que a sequência é de Cauchy.
Informações relevantes: cada termo da soma é positivo e a função
é positiva e estritamente decrescente para
. Não é pedido um valor numérico aproximado mas sim provar a existência do limite e que ele fica entre
e
.
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicada): para funções positivas e decrescentes podemos comparar somas de termos do tipo
com integrais de
. Intuitivamente, em cada intervalo
a função
está entre os valores
e
. Assim, ao integrar em
obtém-se uma quantidade que fica entre
e
. Formalmente, para
decrescente e
vale
Vou usar isso para
.
Passo 3
Aplicando a desigualdade do passo anterior com
para cada
, temos, somando as desigualdades correspondentes,
As somas de integrais telescopam, logo
Passo 4
Calculo explícito das integrais (lembrando que
):
Portanto temos para todo
Passo 5
Agora passo ao limite quando
. Observe que
e como
é contínua,
Pelo Teorema do Confronto (squeeze), das desigualdades do passo 4 segue que
Portanto a sequência converge e o limite é
.
Agora mostrar que
. Como a função exponencial é crescente, basta verificar que
De fato
e
, logo aplicando
em cada parte obtemos
Assim
.
Passo 6
Conclusão que a sequência é de Cauchy. Vou lembrar a definição e usar o fato padrão de análise:
Definição (Cauchy): uma sequência
é de Cauchy se, para todo
, existe
tal que para todos
vale
.
Fato usado: toda sequência convergente em
é Cauchy (porque
é completo). Faço a prova curta usando triângulo:
já temos . Dado
, existe
tal que para todo
vale
. Então para quaisquer
,
já temos
Isto mostra diretamente que
é de Cauchy.
Resposta
A sequência