Questão 3. Mostre que a sequência x_{n}=\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right), n \in \mathbb{N}, converge para algum número L \in\left(\frac{1}{2}, 1\right). Conclua que a sequência é de Cauchy.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
x_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k},\qquad n\in\mathbb{N},
e pede duas coisas:
  • Mostrar que x_n converge para algum número L com L\in\left(\tfrac{1}{2},1\right).
  • Concluir que a sequência é de Cauchy.
Informações relevantes: cada termo da soma é positivo e a função f(x)=\dfrac{1}{x} é positiva e estritamente decrescente para x>0. Não é pedido um valor numérico aproximado mas sim provar a existência do limite e que ele fica entre \tfrac{1}{2} e 1.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicada): para funções positivas e decrescentes podemos comparar somas de termos do tipo \dfrac{1}{k} com integrais de \dfrac{1}{x}. Intuitivamente, em cada intervalo [k,k+1] a função f(x)=\dfrac{1}{x} está entre os valores f(k+1) e f(k). Assim, ao integrar em [k,k+1] obtém-se uma quantidade que fica entre f(k+1) e f(k). Formalmente, para f decrescente e k\in\mathbb{N} vale
\int_{k}^{k+1} f(x)\,dx \le f(k) \le \int_{k-1}^{k} f(x)\,dx.
Vou usar isso para f(x)=\dfrac{1}{x}.

Passo 3

Aplicando a desigualdade do passo anterior com f(x)=\dfrac{1}{x} para cada k=n+1,n+2,\dots,2n, temos, somando as desigualdades correspondentes,
\sum_{k=n+1}^{2n}\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}\,dx \le \sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k} \le \sum_{k=n+1}^{2n}\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}\,dx.
As somas de integrais telescopam, logo
\int_{n+1}^{2n+1}\frac{1}{x}\,dx \le x_n \le \int_{n}^{2n}\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Calculo explícito das integrais (lembrando que \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln x):
\int_{n+1}^{2n+1}\frac{1}{x}\,dx = \ln(2n+1)-\ln(n+1)=\ln\!\left(\frac{2n+1}{\,n+1\,}\right),
\int_{n}^{2n}\frac{1}{x}\,dx = \ln(2n)-\ln n = \ln 2.
Portanto temos para todo n
\ln\!\left(\frac{2n+1}{\,n+1\,}\right) \le x_n \le \ln 2.

Passo 5

Agora passo ao limite quando n\to\infty. Observe que
\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{\,n+1\,}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\tfrac{1}{n}}{1+\tfrac{1}{n}}=\frac{2}{1}=2,
e como \ln é contínua,
\lim_{n\to\infty}\ln\!\left(\frac{2n+1}{\,n+1\,}\right)=\ln 2.
Pelo Teorema do Confronto (squeeze), das desigualdades do passo 4 segue que
\lim_{n\to\infty} x_n = \ln 2.
Portanto a sequência converge e o limite é L=\ln 2.
Agora mostrar que L\in\left(\tfrac{1}{2},1\right). Como a função exponencial é crescente, basta verificar que
e^{1/2}<2<e^{1}.
De fato e^{1/2}=\sqrt{e}\approx 1,6487<2 e e^1=e\approx 2,718>2, logo aplicando \ln em cada parte obtemos
\tfrac{1}{2}<\ln 2<1.
Assim L=\ln 2\in\left(\tfrac{1}{2},1\right).

Passo 6

Conclusão que a sequência é de Cauchy. Vou lembrar a definição e usar o fato padrão de análise:
Definição (Cauchy): uma sequência (x_n) é de Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que para todos m,n\ge N vale |x_n-x_m|<\varepsilon.
Fato usado: toda sequência convergente em \mathbb{R} é Cauchy (porque \mathbb{R} é completo). Faço a prova curta usando triângulo:
já temos x_n\to L=\ln 2. Dado \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N vale |x_n-L|<\varepsilon/2. Então para quaisquer m,n\ge N,
|x_n-x_m| \le |x_n-L| + |x_m-L| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Isto mostra diretamente que (x_n) é de Cauchy.

Resposta

L=\ln 2\in\left(\tfrac{1}{2},1\right)
A sequência (x_n) é de Cauchy.

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