Questão 4. Mostre que se
são conjuntos compactos, então o conjunto
também é compacto. A recíproca é verdadeira?
Passo 1
O enunciado dá que
e
são subconjuntos de
e que cada um deles é compacto. Pede-se:
- Mostrar que
também é compacto. - Responder se a recíproca é verdadeira (isto é, se
compacto implica que e são compactos).
Informações relevantes dadas:
-
é compacto. -
é compacto.
Passo 2
Vou lembrar a definição e um teorema útil — explicando devagar, como se estivéssemos revisando juntos.
Definição (cobertura aberta). Seja
. Uma família de conjuntos abertos
é uma cobertura aberta de
se
Uma subcobertura finita é uma seleção finita desses abertos que ainda cobrem
.
Definição (compacto, via coberturas). Dizemos que
é compacto se toda cobertura aberta de
admite uma subcobertura finita.
Observação (Heine–Borel, que também vamos usar como alternativa). No espaço
vale: um conjunto é compacto se, e somente se, é fechado e limitado (bounded). Aqui:
- “fechado” significa que contém todos os seus pontos-limite;
- “limitado” significa que existe
tal que para todo .
Vou primeiro provar a afirmação usando a definição por coberturas (essa é a demonstração mais direta). Depois mostro a versão curta com Heine–Borel como corolário.
Passo 3
Prova usando a definição por coberturas (argumento padrão e direto).
Seja
uma cobertura aberta de
. Isto quer dizer que
Então, em particular,
Como
é compacto, da cobertura
sobre
podemos extrair uma subcobertura finita que cobre
. Ou seja, existem índices finitos
tais que
De modo análogo, como
é compacto, existem índices finitos
tais que
Se unirmos essas duas subcoberturas finitas obtemos uma subcobertura finita que cobre
:
Essa união é finita (tem
conjuntos). Portanto toda cobertura aberta de
possui uma subcobertura finita, ou seja,
é compacto.
Comentário didático: a ideia é simples — se cada parte precisa só de poucos abertos para ser coberta, então a união precisa da soma desses poucos abertos. Esse é o motivo pelo qual uniões finitas de conjuntos compactos permanecem compactas.
Passo 4
Prova alternativa usando Heine–Borel (curta, útil como corolário e prática em
).
Como
e
são compactos em
, pela equivalência de Heine–Borel cada um é fechado e limitado.
- Fechado: a união finita de conjuntos fechados é fechada. Como
e são fechados, é fechado. - Limitado: se
está contido em e em , então está contido em com . Logo é limitado.
Portanto
é fechado e limitado, e por Heine–Borel é compacto.
Passo 5
Agora a recíproca: será que, se
é compacto, então ambos
e
são necessariamente compactos?
Resposta: não, a recíproca não é verdadeira em geral. Vou dar um contraexemplo simples e explicar por que funciona.
Considere
Então
que é compacto (é fechado e limitado em
). Porém
não é compacto em
, pois não é fechado — seu fecho é
e o ponto
é um ponto-limite que não pertence a
. Pelo critério de Heine–Borel, conjuntos em
que não são fechados não são compactos. Assim obtemos um caso em que a união é compacta, mas uma das partes (
) não é.
Observação alternativa (mais construtiva): pode-se também exibir uma cobertura aberta de
sem subcobertura finita, por exemplo os abertos
cobrem
mas nenhuma subcoleção finita deles cobre todo
— isso demonstra diretamente que
não é compacto.
Resposta
O conjunto
é compacto.
A recíproca não é verdadeira; por exemplo, e
têm
compacto, mas
não é compacto.
A recíproca não é verdadeira; por exemplo,