Questão 4. Mostre que se X, Y \subset \mathbb{R} são conjuntos compactos, então o conjunto X \cup Y também é compacto. A recíproca é verdadeira?

Passo 1

O enunciado dá que X e Y são subconjuntos de \mathbb{R} e que cada um deles é compacto. Pede-se:
  • Mostrar que X\cup Y também é compacto.
  • Responder se a recíproca é verdadeira (isto é, se X\cup Y compacto implica que X e Y são compactos).
Informações relevantes dadas:
  • X é compacto.
  • Y é compacto.

Passo 2

Vou lembrar a definição e um teorema útil — explicando devagar, como se estivéssemos revisando juntos.
Definição (cobertura aberta). Seja A\subset\mathbb{R}. Uma família de conjuntos abertos \{U_i\}_{i\in I} é uma cobertura aberta de A se
A \subset \bigcup_{i\in I} U_i.
Uma subcobertura finita é uma seleção finita desses abertos que ainda cobrem A.
Definição (compacto, via coberturas). Dizemos que A é compacto se toda cobertura aberta de A admite uma subcobertura finita.
Observação (Heine–Borel, que também vamos usar como alternativa). No espaço \mathbb{R} vale: um conjunto é compacto se, e somente se, é fechado e limitado (bounded). Aqui:
  • “fechado” significa que contém todos os seus pontos-limite;
  • “limitado” significa que existe M>0 tal que |x|\le M para todo x\in A.
Vou primeiro provar a afirmação usando a definição por coberturas (essa é a demonstração mais direta). Depois mostro a versão curta com Heine–Borel como corolário.

Passo 3

Prova usando a definição por coberturas (argumento padrão e direto).
Seja \{U_i\}_{i\in I} uma cobertura aberta de X\cup Y. Isto quer dizer que
X\cup Y \subset \bigcup_{i\in I} U_i.
Então, em particular,
X \subset \bigcup_{i\in I} U_i \qquad\text{e}\qquad Y \subset \bigcup_{i\in I} U_i.
Como X é compacto, da cobertura \{U_i\}_{i\in I} sobre X podemos extrair uma subcobertura finita que cobre X. Ou seja, existem índices finitos i_1,\dots,i_m\in I tais que
X \subset U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}.
De modo análogo, como Y é compacto, existem índices finitos j_1,\dots,j_n\in I tais que
Y \subset U_{j_1}\cup\cdots\cup U_{j_n}.
Se unirmos essas duas subcoberturas finitas obtemos uma subcobertura finita que cobre X\cup Y:
X\cup Y \subset \bigl(U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}\bigr)\cup\bigl(U_{j_1}\cup\cdots\cup U_{j_n}\bigr).
Essa união é finita (tem m+n conjuntos). Portanto toda cobertura aberta de X\cup Y possui uma subcobertura finita, ou seja, X\cup Y é compacto.
Comentário didático: a ideia é simples — se cada parte precisa só de poucos abertos para ser coberta, então a união precisa da soma desses poucos abertos. Esse é o motivo pelo qual uniões finitas de conjuntos compactos permanecem compactas.

Passo 4

Prova alternativa usando Heine–Borel (curta, útil como corolário e prática em \mathbb{R}).
Como X e Y são compactos em \mathbb{R}, pela equivalência de Heine–Borel cada um é fechado e limitado.
  1. Fechado: a união finita de conjuntos fechados é fechada. Como X e Y são fechados, X\cup Y é fechado.
  2. Limitado: se X está contido em [-M_1,M_1] e Y em [-M_2,M_2], então X\cup Y está contido em [-M,M] com M=\max\{M_1,M_2\}. Logo X\cup Y é limitado.
Portanto X\cup Y é fechado e limitado, e por Heine–Borel é compacto.

Passo 5

Agora a recíproca: será que, se X\cup Y é compacto, então ambos X e Y são necessariamente compactos?
Resposta: não, a recíproca não é verdadeira em geral. Vou dar um contraexemplo simples e explicar por que funciona.
Considere
X = [0,1)\qquad\text{e}\qquad Y=\{1\}.
Então
X\cup Y = [0,1), \cup\{1\} = [0,1],
que é compacto (é fechado e limitado em \mathbb{R}). Porém X=[0,1) não é compacto em \mathbb{R}, pois não é fechado — seu fecho é [0,1] e o ponto 1 é um ponto-limite que não pertence a X. Pelo critério de Heine–Borel, conjuntos em \mathbb{R} que não são fechados não são compactos. Assim obtemos um caso em que a união é compacta, mas uma das partes ( X) não é.
Observação alternativa (mais construtiva): pode-se também exibir uma cobertura aberta de X=[0,1) sem subcobertura finita, por exemplo os abertos
U_n = \bigl(-1,\,1-\tfrac{1}{n}\bigr),\qquad n\in\mathbb{N},
cobrem [0,1) mas nenhuma subcoleção finita deles cobre todo [0,1) — isso demonstra diretamente que X não é compacto.

Resposta

O conjunto X\cup Y é compacto.
A recíproca não é verdadeira; por exemplo, X=[0,1) e Y=\{1\} têm X\cup Y=[0,1] compacto, mas X não é compacto.

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