Resolver a equação de Euler
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Euler aqui:
Essa é uma equação diferencial com coeficientes que variam com $ x $. O conteúdo que a gente vai usar aqui é de equações diferenciais de Euler, que geralmente têm a forma:
Para resolver, a gente vai supor que a solução é da forma $ y = x^r $, onde $ r $ é um número que a gente precisa descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que $ y = x^r $. Isso significa que a primeira derivada $ y’ $ e a segunda derivada $ y’’ $ serão:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Juntando tudo, a equação fica:
Como $ x^{r} $ é comum em todos os termos, podemos dividir toda a equação por $ x^{r} $:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para $ r $:
Primeiro, distribua $ r (r - 1) $:
Combine os termos de $ r $:
Passo 6
Para resolver a equação quadrática $ r^{2} - \frac{11}{6} r + \frac{1}{2} = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -\frac{11}{6} $, e $ c = \frac{1}{2} $.
Calculando o discriminante:
Então,
Passo 7
Calculando os valores de $ r $:
Primeiro, com o sinal positivo:
Segundo, com o sinal negativo:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.