Resolver a equação de Euler
x^2 y^prime prime-56 x y^prime+12 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler aqui:
x^2 y'' - 56 x y' + 12 y = 0
Essa é uma equação diferencial com coeficientes que variam com $ x $. O conteúdo que a gente vai usar aqui é de equações diferenciais de Euler, que geralmente têm a forma:
x
Para resolver, a gente vai supor que a solução é da forma $ y = x^r $, onde $ r $ é um número que a gente precisa descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que $ y = x^r $. Isso significa que a primeira derivada $ y’ $ e a segunda derivada $ y’’ $ serão:
y = x^r
y'

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
y
Simplificando cada termo:
y'
y''
x^2 [ r (r - 1) x^r - 2 ] - 56 x [ r x^r - 1 ] + 12 x^r = 0

Passo 4

Juntando tudo, a equação fica:
r (r - 1) x^r - 56 r x^r + 12 x^r = 0
Como $ x^{r} $ é comum em todos os termos, podemos dividir toda a equação por $ x^{r} $:
x^r

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para $ r $:
Primeiro, distribua $ r (r - 1) $:
r
Combine os termos de $ r $:
r (r - 1)

Passo 6

Para resolver a equação quadrática $ r^{2} - \frac{11}{6} r + \frac{1}{2} = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
r^2 - 116 r + 12 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -\frac{11}{6} $, e $ c = \frac{1}{2} $.
Calculando o discriminante:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então,
a = 1

Passo 7

Calculando os valores de $ r $:
Primeiro, com o sinal positivo:
r
Segundo, com o sinal negativo:
r = 116 + 762 = 1862 = 32

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = C1 x^32 + C2 x^13
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

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