Questão 1. A série
converge? Se sim, calcule a soma.
Passo 1
O enunciado pergunta se a série
converge e, se convergir, pede para calcular a soma. Informação dada: a expressão geral dos termos é
para
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão geral do termo para reconhecer o tipo de série. Primeiro reescrevo o denominador:
Portanto,
Ou seja, a série original pode ser escrita como
Passo 3
Identificação: a série
é um múltiplo (constante
) de uma série geométrica. Vou explicar o que é uma série geométrica e quando ela converge.
Definição e propriedades (aula rápida): uma série geométrica tem forma
onde
é a razão. A condição de convergência é
. Intuição: os termos
tendem a zero se e somente se
; mais formalmente, os somatórios parciais têm limite finito somente nesse caso.
No nosso caso, a parte geométrica é
. Verifico a razão:
Como
, a série geométrica
converge. Multiplicar por
não altera a convergência, logo a série dada converge.
Passo 4
Fórmula da soma (derivei para lembrar como usar): para a série geométrica
considere a soma parcial
Multiplicando por
e subtraindo,
Assim,
Se
, então
, e portanto
Se a série é
vezes essa série (no nosso caso
), a soma é
.
Passo 5
Aplicando ao nosso problema: temos
e
. Então a soma é
Calculo passo a passo:
portanto
Passo 6
Conclusão final e incentivo: a série converge porque é (duas vezes) uma série geométrica com razão
cuja magnitude é menor que
. A soma calculada, feita passo a passo, é
. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — agora, na prova, basta reconhecer a forma geométrica e aplicar a mesma ideia; você consegue!
Resposta
Sim, converge.
Soma:
Soma: