Questão 1. A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{2^{2 n-1}} converge? Se sim, calcule a soma.

Passo 1

O enunciado pergunta se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{2^{2 n-1}}
converge e, se convergir, pede para calcular a soma. Informação dada: a expressão geral dos termos é \dfrac{3^{n}}{2^{2 n-1}} para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão geral do termo para reconhecer o tipo de série. Primeiro reescrevo o denominador:
2^{2n-1}= \frac{2^{2n}}{2} = \frac{(2^2)^n}{2} = \frac{4^{n}}{2}.
Portanto,
\frac{3^{n}}{2^{2 n-1}} = \frac{3^{n}}{\,4^{n}/2\,} = 2\cdot\frac{3^{n}}{4^{n}} = 2\left(\frac{3}{4}\right)^{n}.
Ou seja, a série original pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{2^{2 n-1}} = \sum_{n=1}^{+\infty} 2\left(\frac{3}{4}\right)^{n}.

Passo 3

Identificação: a série \sum_{n=1}^{+\infty} 2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n} é um múltiplo (constante 2) de uma série geométrica. Vou explicar o que é uma série geométrica e quando ela converge.
Definição e propriedades (aula rápida): uma série geométrica tem forma
\sum_{n=1}^{+\infty} a r^{n-1}\quad\text{ou}\quad\sum_{n=1}^{+\infty} r^{n},
onde r é a razão. A condição de convergência é |r|<1. Intuição: os termos r^{n} tendem a zero se e somente se |r|<1; mais formalmente, os somatórios parciais têm limite finito somente nesse caso.
No nosso caso, a parte geométrica é \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}. Verifico a razão:
r=\frac{3}{4}.
Como |r|=\dfrac{3}{4}<1, a série geométrica \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n} converge. Multiplicar por 2 não altera a convergência, logo a série dada converge.

Passo 4

Fórmula da soma (derivei para lembrar como usar): para a série geométrica
\sum_{n=1}^{+\infty} r^{n}
considere a soma parcial
S_N=\sum_{n=1}^{N} r^{n}=r+r^{2}+\cdots+r^{N}.
Multiplicando por r e subtraindo,
rS_N=r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{N+1},
S_N - rS_N = r - r^{N+1},
S_N(1-r)=r(1-r^{N}).
Assim,
S_N=\frac{r(1-r^{N})}{1-r}.
Se |r|<1, então \lim_{N\to\infty} r^{N}=0, e portanto
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Se a série é c vezes essa série (no nosso caso c=2), a soma é c\cdot \dfrac{r}{1-r}.

Passo 5

Aplicando ao nosso problema: temos c=2 e r=\dfrac{3}{4}. Então a soma é
2\cdot\frac{\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{3}{4}} = 2\cdot\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{1}{4}}.
Calculo passo a passo:
\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{1}{4}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{1}=3,
portanto
2\cdot 3 = 6.

Passo 6

Conclusão final e incentivo: a série converge porque é (duas vezes) uma série geométrica com razão \dfrac{3}{4} cuja magnitude é menor que 1. A soma calculada, feita passo a passo, é 6. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — agora, na prova, basta reconhecer a forma geométrica e aplicar a mesma ideia; você consegue!

Resposta

Sim, converge.
Soma: 6

Exercícios relacionados