Questão 3. A série \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)} converge ou diverge? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}-1)}
converge ou diverge, e justificar a resposta. Informação dada importante:
  • Os termos da série são positivos para todo n\ge2 (pois \sqrt{n}>1 e o denominador é positivo).
    A pergunta é apenas uma: determinar a convergência ou divergência da série.

Passo 2

Estratégia escolhida: usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}.
Explicando o teste de forma bem didática: seja (a_n) e (b_n) duas sequências de termos positivos. Se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
e 0<L<+\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou as duas convergem, ou as duas divergem. A intuição: para n grande os termos a_n e b_n são proporcionais (um é aproximadamente L vezes o outro), então não faz sentido que uma some e a outra não. Aqui escolho b_n=\dfrac{1}{n} porque suspeitamos que os termos dados se comportam como 1/n quando n é grande.

Passo 3

Defino
a_n=\frac{1}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}-1)}.
Vou calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n}=\lim_{n\to\infty} n\,a_n.
Faço as contas passo a passo:
n\,a_n=\frac{n}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}-1)}.
Como \sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=n, posso escrever
\frac{n}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}-1)}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}.
Divido numerador e denominador por \sqrt{n} para facilitar o limite:
\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}=\frac{1}{1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{1}{\sqrt{n}}\to0, vem
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}=\frac{1}{1-0}=1.
Portanto o limite de comparação é
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n}=1.

Passo 4

Interpretação: o limite obtido é L=1, um número finito e estritamente positivo. Pelo teste da comparação por limite, a série \sum a_n e a série harmônica \sum \dfrac{1}{n} têm o mesmo comportamento. Como se sabe que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge, concluímos que a série dada também diverge.
Observação alternativa (intuição): para n grande
\frac{1}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}-1)}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}\approx\frac{1}{n},
ou seja, os termos decaem como 1/n, o que já sugere divergência do mesmo tipo da harmônica.

Resposta

A série diverge.

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