Questão 3. A série
converge ou diverge? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge, e justificar a resposta. Informação dada importante:
- Os termos da série são positivos para todo
(pois e o denominador é positivo).
A pergunta é apenas uma: determinar a convergência ou divergência da série.
Passo 2
Estratégia escolhida: usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com a série harmônica
.
Explicando o teste de forma bem didática: seja
e
duas sequências de termos positivos. Se existir o limite
e
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou as duas convergem, ou as duas divergem. A intuição: para
grande os termos
e
são proporcionais (um é aproximadamente
vezes o outro), então não faz sentido que uma some e a outra não. Aqui escolho
porque suspeitamos que os termos dados se comportam como
quando
é grande.
Passo 3
Defino
Vou calcular o limite
Faço as contas passo a passo:
Como
, posso escrever
Divido numerador e denominador por
para facilitar o limite:
Agora tomo o limite quando
. Como
, vem
Portanto o limite de comparação é
Passo 4
Interpretação: o limite obtido é
, um número finito e estritamente positivo. Pelo teste da comparação por limite, a série
e a série harmônica
têm o mesmo comportamento. Como se sabe que a série harmônica
diverge, concluímos que a série dada também diverge.
Observação alternativa (intuição): para
grande
ou seja, os termos decaem como
, o que já sugere divergência do mesmo tipo da harmônica.
Resposta
A série diverge.