Questão 3. Mostre que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando o princípio de indução, que a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão
e primeiro termo
satisfaz
para todo
. Vamos aplicar a prova por indução em
.
Passo 2
Caso base
:
e do outro lado
Logo a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para um certo
valha
Passo 4
Passo indutivo
:
Começamos com a soma até :
Começamos com a soma até
Pela hipótese de indução substituímos:
Assim a fórmula vale para
.
Passo 5
Concluímos por indução que, para todo inteiro
,
Resposta
A igualdade foi demonstrada por indução completa.