Questão 3. Mostre que
\sum_{i=0}^{n} 2^{i}=2^{n+1}-1,
para todo n \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o princípio de indução, que a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo 2^0 satisfaz
\sum_{i=0}^{n}2^i = 2^{n+1}-1
para todo n\ge0. Vamos aplicar a prova por indução em n.

Passo 2

Caso base n=0:
\sum_{i=0}^{0}2^i = 2^0 = 1,
e do outro lado
2^{0+1}-1 = 2^1 -1 = 2 -1 = 1.
Logo a fórmula vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para um certo k\ge0 valha
\sum_{i=0}^{k}2^i = 2^{k+1}-1.

Passo 4

Passo indutivo n=k+1:
Começamos com a soma até k+1:
\sum_{i=0}^{k+1}2^i = \Bigl(\sum_{i=0}^{k}2^i\Bigr) + 2^{k+1}.
Pela hipótese de indução substituímos:
\sum_{i=0}^{k+1}2^i = \bigl(2^{k+1}-1\bigr) + 2^{k+1} = 2\cdot2^{k+1} -1 = 2^{k+2}-1 = 2^{(k+1)+1}-1.
Assim a fórmula vale para n=k+1.

Passo 5

Concluímos por indução que, para todo inteiro n\ge0,
\sum_{i=0}^{n}2^i = 2^{n+1}-1.

Resposta

A igualdade foi demonstrada por indução completa.

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