Questão 1. Sejam A, B e E conjuntos quaisquer. Prove que:
Sejam A, B \subset E, mostre que A \cap B=\emptyset \Leftrightarrow A \subset \mathcal{C}_{E}(B).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre
\;A\cap B=\emptyset\quad\text{e}\quad A\subset \mathcal{C}_{E}(B),
onde A,B\subset E arbitrários e \mathcal{C}_{E}(B)=E\setminus B é o complemento de B em E.
Para isso vamos usar as definições:
A\cap B=\emptyset significa que não existe x\in E tal que x\in A e x\in B simultaneamente.
A\subset \mathcal{C}_{E}(B) significa que todo x\in A satisfaz x\in E e x\notin B.

Passo 2

Prova de \boldsymbol{(A\cap B=\emptyset)\implies (A\subset \mathcal{C}_{E}(B))}.
Suponha A\cap B=\emptyset. Tome um elemento qualquer x\in A. Como A\subset E, segue x\in E. Se por absurdo x\in B, então x\in A e x\in B implicaria x\in A\cap B, contradizendo A\cap B=\emptyset. Logo não pode ocorrer x\in B, de onde concluímos x\in E\setminus B=\mathcal{C}_{E}(B). Sendo x\in A arbitrário, segue A\subset \mathcal{C}_{E}(B).

Passo 3

Prova de \boldsymbol{(A\subset \mathcal{C}_{E}(B))\implies (A\cap B=\emptyset)}.
Suponha A\subset \mathcal{C}_{E}(B). Para mostrar A\cap B=\emptyset, devemos verificar que não existe x em A\cap B. De fato, se hipoteticamente existisse x\in A\cap B, teríamos x\in A e x\in B. Mas x\in A\subset \mathcal{C}_{E}(B) implica x\notin B, contradição. Logo não há elemento em A\cap B, ou seja, A\cap B=\emptyset.

Resposta

Concluímos que
A\cap B=\emptyset\quad\Leftrightarrow\quad A\subset \mathcal{C}_{E}(B).

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