Utilizando a transformada Laplace resolva o PVI
\left\{\begin{array}{l} \ddot{x}+4 x=e^{t} \sin t \\\ x(0)=\dot{x}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, usando transformada de Laplace, o problema de valor inicial
\begin{cases} \ddot{x}(t) + 4\,x(t) = e^{t}\sin t,\\\ x(0)=0,\quad \dot{x}(0)=0. \end{cases}
O conteúdo principal é o uso da transformada de Laplace para equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos forçantes. Vamos precisar das fórmulas
\mathcal{L}\{\ddot x\}(s)=s^2 X(s)-s x(0)-\dot x(0),\quad \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s-a)^2+b^2}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de \ddot x+4x=e^t\sin t. Como x(0)=\dot x(0)=0, temos
\mathcal{L}\{\ddot x\}(s)=s^2X(s),\quad \mathcal{L}\{4x\}(s)=4X(s),
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(s^2+4)\,X(s)=\mathcal{L}\{e^{t}\sin t\}(s).

Passo 3

Usando
\mathcal{L}\{e^{t}\sin t\}(s) =\frac{1}{(s-1)^2+1},
obtemos
X(s)=\frac{1}{(s^2+4)\bigl((s-1)^2+1\bigr)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais na forma
\frac{1}{(s^2+4)\bigl((s-1)^2+1\bigr)} =\frac{A\,s+B}{s^2+4}+\frac{C\,(s-1)+D}{(s-1)^2+1}.
Multiplicando em cruz e comparando coeficientes determinamos
A=\tfrac{1}{10},\quad B=-\tfrac{1}{10},\quad C=-\tfrac{1}{10},\quad D=\tfrac{1}{5}.
Assim
X(s) =\frac{\tfrac{1}{10}s-\tfrac{1}{10}}{s^2+4} +\frac{-\tfrac{1}{10}(s-1)+\tfrac{1}{5}}{(s-1)^2+1}.

Passo 5

Separamos cada parcela para inverter a transformada:
\frac{\tfrac{1}{10}s-\tfrac{1}{10}}{s^2+4} =\frac{1}{10}\frac{s}{s^2+4}-\frac{1}{10}\frac{1}{s^2+4},
\frac{-\tfrac{1}{10}(s-1)+\tfrac{1}{5}}{(s-1)^2+1} =-\frac{1}{10}\frac{s-1}{(s-1)^2+1}+\frac{1}{5}\frac{1}{(s-1)^2+1}.
Como \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+4}\}=\cos2t, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+4}\}=\tfrac{1}{2}\sin2t, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s-1}{(s-1)^2+1}\}=e^t\cos t, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s-1)^2+1}\}=e^t\sin t, obtemos:

Passo 6

Aplicando a inversa:
x(t) =\frac{1}{10}\cos2t-\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{2}\sin2t -\frac{1}{10}e^{t}\cos t+\frac{1}{5}e^{t}\sin t.
Simplificando,
x(t) =\frac{1}{10}\cos2t-\frac{1}{20}\sin2t -\frac{1}{10}e^{t}\cos t+\frac{1}{5}e^{t}\sin t.

Resposta

x(t) =\frac{1}{10}\cos2t-\frac{1}{20}\sin2t -\frac{1}{10}e^{t}\cos t+\frac{1}{5}e^{t}\sin t.

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