Questão 4.
Sejam
e
funções. Prove que se
é injetora e
é sobrejetora, então
é injetora.
Sejam
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções
e
,
e que a composição é injetora enquanto
é sobrejetora.
O objetivo é mostrar que, sob essas hipóteses, também deve ser injetora.
Para isso, vamos usar as definições de injetividade e sobrejetividade de funções.
e que a composição
O objetivo é mostrar que, sob essas hipóteses,
Para isso, vamos usar as definições de injetividade e sobrejetividade de funções.
Passo 2
Lembrando as definições:
– é sobrejetora significa que, para todo
, existe
tal que
–
–
é injetora significa que, sempre que
então necessariamente
.
Passo 3
Para provar que
é injetora, consideramos dois elementos quaisquer
tais que
Como
é sobrejetora, existem
com
Passo 4
Aplicando
a essas igualdades, obtemos
Mas escolhemos
de modo que
, logo
isto é,
Como
é injetora, concluímos que
. Então
Isso mostra que sempre que
temos
, que é a definição de injetividade de
.