Questão 4.
Sejam f: X \rightarrow Y e g: Y \rightarrow Z funções. Prove que se g \circ f é injetora e f é sobrejetora, então g é injetora.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f\colon X \to Y e g\colon Y \to Z,
e que a composição g\circ f é injetora enquanto f é sobrejetora.
O objetivo é mostrar que, sob essas hipóteses, g também deve ser injetora.
Para isso, vamos usar as definições de injetividade e sobrejetividade de funções.

Passo 2

Lembrando as definições:
f é sobrejetora significa que, para todo y\in Y, existe x\in X tal que
f(x)=y.
g\circ f é injetora significa que, sempre que
(g\circ f)(x_1) = (g\circ f)(x_2),
então necessariamente x_1 = x_2.

Passo 3

Para provar que g é injetora, consideramos dois elementos quaisquer y_1,y_2\in Y tais que
g(y_1)=g(y_2).
Como f é sobrejetora, existem x_1,x_2\in X com
f(x_1)=y_1 \quad\text{e}\quad f(x_2)=y_2.

Passo 4

Aplicando g a essas igualdades, obtemos
g\bigl(f(x_1)\bigr)=g(y_1) \quad\text{e}\quad g\bigl(f(x_2)\bigr)=g(y_2).
Mas escolhemos y_1,y_2 de modo que g(y_1)=g(y_2), logo
g\bigl(f(x_1)\bigr) = g\bigl(f(x_2)\bigr),
isto é,
(g\circ f)(x_1) = (g\circ f)(x_2).
Como g\circ f é injetora, concluímos que x_1 = x_2. Então
y_1 = f(x_1) = f(x_2) = y_2.
Isso mostra que sempre que g(y_1)=g(y_2) temos y_1=y_2, que é a definição de injetividade de g.

Resposta

g é injetora.

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