Questão 8 - Mostre que o terceiro postulado de Bohr, da quantização do momento angular, implica a existência de uma onda (estacionária) para o elétron cujo comprimento de onda é dado por lambdan=2 pi n a0 onde a0 é o raio de Bohr.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, a partir do terceiro postulado de Bohr
L = m v r = nhbar,
surge naturalmente uma onda estacionária para o elétron com comprimento de onda lambdan=2pi n a0.
Vamos usar também a relação de de Broglie
lambda = hp,
alem de conhecer o raio de Bohr
rn = n^2 a0

Passo 2

Do postulado de Bohr temos
L = m v r = nhbar
Como o momento linear é p = m v, podemos escrever
p,r = nhbar Longrightarrow p = nhbarr

Passo 3

Aplicando a relação de de Broglie para o comprimento de onda do elétron,
lambda = hp,
e substituindo p = nhbar/r e h = 2pihbar, obtemos
lambda = 2pihbar,nhbar/r, = 2pi,rn

Passo 4

No átomo de hidrogênio, o raio de Bohr para o nível n é
rn = n^2 a0
Substituindo em lambda = 2pi r/n, vem
lambdan = 2pi,rnn = 2pi,n^2 a0n = 2pi,n,a0

Resposta

O comprimento de onda estacionária do elétron no nível n é
lambdan=2pi n,a0

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