Exemplo 04: Integrando o campo elétrico, determine o potencial a uma distância r da carga puntiforme q.

Passo 1

O enunciado quer o potencial elétrico V(r) criado por uma carga puntiforme q no vácuo, a uma distância r da carga. O conteúdo é eletrostática básica: sabemos o campo elétrico de uma carga pontual e vamos usar a relação entre potencial e campo, que é uma integral de linha. Vamos tomar V(infty)=0 como referência.

Passo 2

O campo elétrico de uma carga puntiforme q no vácuo é radial e tem módulo
E(r)=14piepsilon0;qr^2,
apontando no sentido de r (para cargas positivas, longe da carga).

Passo 3

Por definição, a diferença de potencial entre dois pontos a e b é
V(b)-V(a)=-integrala^b Ecdot d ell
Tomando a=infty (onde V(infty)=0) e b a uma distância r, o deslocamento é radial e d ell = dr', r. Então
V(r)-0 = -integralinfty^rE(r'),dr' = -integralinfty^r14piepsilon0;qr'^2,dr'

Passo 4

Vamos calcular a integral:
-q4piepsilon0integralinfty^r1r'^2,dr' =-q4piepsilon0gl[-1r'gr]infty^r =q4piepsilon0(1r-0) =14piepsilon0;qr

Resposta

V(r)=14piepsilon0;qr

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