Lista 2:
- Seja
. Encontre as direções u e os valores de
para os quais
a.
é máximo
b.
é mínimo
c.
d.
e.
- Variação de temperatura ao longo de uma circunferência Existe uma direção u na qual a taxa de variação da função de temperatura
(temperatura em graus Celsius, distância em pés) em
é
pés? Justifique sua resposta.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado traz dois problemas de derivada direcional. No exercício 3, temos a função
e precisamos encontrar as direções unitárias
e os valores de
que atendem a várias condições (máximo, mínimo, zero e valores específicos). No exercício 4, temos a temperatura
em
e queremos saber se existe direção unitária com derivada direcional igual a
em
. Para ambos os casos vamos usar o gradiente e a fórmula
Passo 2
Calculamos o gradiente de
. As derivadas parciais são
Logo
e em
teremos o valor de
e, em seguida, usaremos
Passo 3
Avaliaremos o gradiente em
:
O módulo é
Passo 4
Para derivada direcional máxima, escolhemos
na direção do gradiente:
Para mínima, tomamos a direção oposta:
Passo 5
Para
precisamos de
. Uma normal a
é
, portanto duas soluções unitárias são
Passo 6
Queremos
. Como
, basta achar
com
As duas soluções são
Passo 7
Para
fazemos similarmente
e obtemos as duas direções
Passo 8
Agora para
em
, o gradiente é
Em
temos
cujo módulo é
. Portanto a derivada direcional varia em
e não alcança
.
Resposta
3a.
,
3b. ,
3c. ou
,
3d. ou
,
3e. ou
,
4. Não existe direção unitária com derivada direcional em
, pois o máximo em módulo é
.
3b.
3c.
3d.
3e.
4. Não existe direção unitária com derivada direcional