Lista 2:

  1. Seja f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}-y. Encontre as direções u e os valores de D_{\mathbf{u}} f(1,-1) para os quais
    a. D_{\mathbf{u}} f(1,-1) é máximo
    b. D_{\mathbf{u}} f(1,-1) é mínimo
    c. D_{\mathbf{u}} f(1,-1)=0
    d. D_{\mathbf{u}} f(1,-1)=4
    e. D_{\mathbf{u}} f(1,-1)=-3
  2. Variação de temperatura ao longo de uma circunferência Existe uma direção u na qual a taxa de variação da função de temperatura T(x, y, z)=2 x y-y z (temperatura em graus Celsius, distância em pés) em P(1,-1,1) é -3^{\circ} \mathrm{C} / pés? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado traz dois problemas de derivada direcional. No exercício 3, temos a função
f(x,y)=x^{2}-x\,y+y^{2}-y
e precisamos encontrar as direções unitárias \mathbf u e os valores de D_{\mathbf u}f(1,-1) que atendem a várias condições (máximo, mínimo, zero e valores específicos). No exercício 4, temos a temperatura
T(x,y,z)=2\,x\,y - y\,z
em \mathbb R^{3} e queremos saber se existe direção unitária com derivada direcional igual a -3 em P(1,-1,1). Para ambos os casos vamos usar o gradiente e a fórmula
D_{\mathbf u}f(p)=\nabla f(p)\cdot \mathbf u,\quad \|\mathbf u\|=1.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=2x - y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-x + 2y - 1.
Logo
\nabla f(x,y)=\bigl(2x - y,\;-x + 2y - 1\bigr)
e em (1,-1) teremos o valor de \nabla f e, em seguida, usaremos
D_{\mathbf u}f(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot \mathbf u.

Passo 3

Avaliaremos o gradiente em (1,-1):
\nabla f(1,-1)=\bigl(2\cdot1 - (-1),\;-1 + 2\cdot(-1) -1\bigr)=(3,\,-4).
O módulo é
\|\nabla f(1,-1)\|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=5.

Passo 4

Para derivada direcional máxima, escolhemos \mathbf u na direção do gradiente:
\mathbf u_{\max}=\frac{1}{5}(3,-4), \qquad D_{\mathbf u_{\max}}f(1,-1)=5.
Para mínima, tomamos a direção oposta:
\mathbf u_{\min}=\frac{1}{5}(-3,4), \qquad D_{\mathbf u_{\min}}f(1,-1)=-5.

Passo 5

Para D_{\mathbf u}f(1,-1)=0 precisamos de \mathbf u\perp\nabla f(1,-1). Uma normal a (3,-4) é (4,3), portanto duas soluções unitárias são
\mathbf u_{0}=\frac{1}{5}(4,3), \quad \mathbf u_{0}'=\frac{1}{5}(-4,-3).

Passo 6

Queremos D_{\mathbf u}f(1,-1)=4. Como \|\nabla f\|=5, basta achar \mathbf u com
(3,-4)\cdot \mathbf u=4, \quad \|\mathbf u\|=1.
As duas soluções são
\mathbf u=\bigl(0,-1\bigr) \quad\text{e}\quad \mathbf u=\frac{1}{25}(24,-7).

Passo 7

Para D_{\mathbf u}f(1,-1)=-3 fazemos similarmente
(3,-4)\cdot \mathbf u=-3, \quad \|\mathbf u\|=1,
e obtemos as duas direções
\mathbf u=(-1,0) \quad\text{e}\quad \mathbf u=\frac{1}{25}(7,24).

Passo 8

Agora para T(x,y,z)=2xy - y z em \mathbb R^{3}, o gradiente é
\nabla T(x,y,z)=(2y,\;2x - z,\;-y).
Em P(1,-1,1) temos
\nabla T(1,-1,1)=(-2,\;1,\;1),
cujo módulo é \sqrt{6}\approx2{,}45. Portanto a derivada direcional varia em [-\sqrt{6},\sqrt{6}]\subset(-3,3) e não alcança -3.

Resposta

3a. \mathbf u_{\max}=(3/5,-4/5), D_{\mathbf u_{\max}}f(1,-1)=5
3b. \mathbf u_{\min}=(-3/5,4/5), D_{\mathbf u_{\min}}f(1,-1)=-5
3c. \mathbf u=(4/5,3/5) ou ( -4/5,-3/5), D_{\mathbf u}f(1,-1)=0
3d. \mathbf u=(0,-1) ou \mathbf u=(24/25,-7/25), D_{\mathbf u}f(1,-1)=4
3e. \mathbf u=(-1,0) ou \mathbf u=(7/25,24/25), D_{\mathbf u}f(1,-1)=-3
4. Não existe direção unitária com derivada direcional -3 em P(1,-1,1), pois o máximo em módulo é \|\nabla T(1,-1,1)\|=\sqrt{6}<3.

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