Exercícios 10.2
3. Seja s=f(x, y, z, w) dada por s=e^{x} \frac{z}{w}. Verifique que
x \frac{\partial s}{\partial x}+y \frac{\partial s}{\partial y}+z \frac{\partial s}{\partial z}+w \frac{\partial s}{\partial w}=0

Passo 1

O enunciado define
s=f(x,y,z,w)=e^{x}\,\frac{z}{w}
e pede para verificar a identidade
x\,\frac{\partial s}{\partial x} +y\,\frac{\partial s}{\partial y} +z\,\frac{\partial s}{\partial z} +w\,\frac{\partial s}{\partial w} \;=\;0.
Para isso, vamos calcular cada derivada parcial de s e depois formar a combinação indicada.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial s}{\partial x}.
Como s=e^{x}\,(z/w), trata–se de produto de e^x por z/w (que é constante em x), logo
\frac{\partial s}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(e^{x}\Bigr)\,\frac{z}{w} =e^{x}\,\frac{z}{w} =s.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial s}{\partial y}.
Não há y em e^{x}(z/w), então
\frac{\partial s}{\partial y}=0.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial s}{\partial z}.
Aqui e^{x}/w é constante em z, logo
\frac{\partial s}{\partial z} =e^{x}\,\frac{1}{w}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial s}{\partial w}.
Temos s=e^x\,z\cdot w^{-1}. Derivando em w:
\frac{\partial s}{\partial w} =e^{x}\,z\cdot(-1)\,w^{-2} =-\,e^{x}\,\frac{z}{w^{2}} =-\,\frac{s}{w}.

Passo 6

Formar a soma
x\,\frac{\partial s}{\partial x} +y\,\frac{\partial s}{\partial y} +z\,\frac{\partial s}{\partial z} +w\,\frac{\partial s}{\partial w}
substituindo:
x\,(s) +\;y\,(0) +\;z\!\Bigl(e^{x}\tfrac1w\Bigr) +\;w\!\Bigl(-\,e^{x}\tfrac{z}{w^{2}}\Bigr) =x\,s +\;e^{x}\,\frac{z}{w} -\;e^{x}\,\frac{z}{w} =x\,s.
Portanto a soma não é zero, mas sim x\,s.

Resposta

A combinação vale
x\,\frac{\partial s}{\partial x} +y\,\frac{\partial s}{\partial y} +z\,\frac{\partial s}{\partial z} +w\,\frac{\partial s}{\partial w} =x\,e^{x}\,\frac{z}{w},
logo não se verifica a igualdade com zero (a menos que x=0).

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