(3^{a}) Questão-
Mostre, usando a equação da intensidade: (\mathrm{I}=\mathrm{I}_{0}(\operatorname{sen}(\varphi / 2) / \varphi / 2)^{2}), que os máximos no padrão de difração de fenda única ocorrem sempre que (\operatorname{tg}(\varphi / 2)=\varphi / 2).

Passo 1

O enunciado fornece a fórmula da intensidade de difração de uma fenda única
I = I0 gl(sin(phi/2)phi/2gr)^2
e pede para mostrar que os máximos ocorrem quando tan(phi/2)=phi/2. Para isso, vamos achar os pontos críticos de I diferenciando em relação a phi.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
f(phi) = gl(sin(phi/2)phi/2gr)^2,
pois I(phi)=I0,f(phi). Como I0 é constante, os máximos de I coincidem com os máximos de f, e podemos focar em derivar f(phi).

Passo 3

Para derivar f(phi), usamos regra da cadeia:
f(phi) = [g(phi)]^2 com g(phi) = sin(phi/2)phi/2
Então
dfdphi = 2,g(phi),dgdphi
A condição de ponto crítico é dfdphi=0. Como g(phi)neq0 nos máximos (exceto o trivial em phi=0), basta impor dgdphi=0.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente em
g(phi) = sin(phi/2)phi/2,
temos
dgdphi = ddphi[sin(phi/2)]cdot(phi/2);-;sin(phi/2)cdotddphi(phi/2)(phi/2)^2
Como
ddphi[sin(phi/2)] = tfrac12cos(phi/2), ddphil(phi/2r) = tfrac12,
substituímos e obtemos
dgdphi = tfrac12cos(phi/2),(phi/2);-;tfrac12sin(phi/2)(phi/2)^2 = cos(phi/2),(phi/2)-sin(phi/2)2(phi/2)^2

Passo 5

Impondo dgdphi=0, faz-se zero o numerador:
cos(phi/2),phi2-sin(phi/2)=0 Longrightarrow phi2cos(phi/2)=sin(phi/2)
Dividindo por cos(phi/2), chega-se a
phi2 = tan(phi/2)

Resposta

Os máximos de intensidade no padrão de difração de fenda única ocorrem sempre quando
tanl(tfracphi2r)=phi2

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