Um fio uniformemente carregada de comprimento \mathrm{I}=0,21 \mathrm{~m} tem a forma de um semicírculo. O fio tem uma carga total de \mathrm{q}=-8,54 \mathrm{e}-06 \mathrm{C}. Encontre a magnitude, direção e sentido do campo elétrico em O , o centro do semicírculo. Use k=8.99 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2} e \pi=3,14. Dê a resposta em N / C.
Passo 1
O enunciado dá um fio uniformemente carregado em forma de semicírculo com as seguintes informações: \mathrm{I}=0,21\\ \mathrm{m} (comprimento do fio, que é meio comprimento de circunferência), \mathrm{q}=-8,54\times10^{-6}\\ \mathrm{C} (carga total do fio), k=8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} e \pi=3,14.
A pergunta é: encontrar a magnitude, a direção e o sentido do campo elétrico em O, o centro do semicírculo.
Observação: vou assumir a configuração usual onde o semicírculo está sobre o eixo x com a sua curvatura acima do eixo (ou seja, os pontos do fio têm coordenadas R\cos\theta,\;R\sin\theta com \theta indo de 0 a \pi). Isso garante uma reta de simetria vertical para o campo em O.
Passo 2
Primeiro calculamos o raio \;R\; do semicírculo a partir do comprimento L (o enunciado chamou de \mathrm{I}, aqui uso L para ficar claro):
L=\pi R.
Como L=0,21\\ \mathrm{m}, temos
R=\frac{L}{\pi}=\frac{0,21}{3,14}.
Faço a divisão passo a passo:
R\approx 0,066878\\ \mathrm{m}.
Passo 3
Agora a densidade linear de carga \lambda (carga por unidade de comprimento) é
Expliquei: \lambda é negativa porque a carga total q é negativa.
Passo 4
Vamos escrever a contribuição de um elemento infinitesimal de carga dq localizado no ângulo \theta (medido desde o eixo positivo x, variando de 0 a \pi). O elemento de comprimento é ds=R\,d\theta, então
dq=\lambda\,ds=\lambda R\,d\theta.
O módulo do campo elétrico criado por dq no centro O é, pela lei de Coulomb,
Direção: o vetor campo devido a dq aponta do ponto de aplicação até O (ou seja, aponta radialmente para dentro) quando a carga é positiva; como \lambda é negativa, a direção ficará invertida (vamos tratar o sinal corretamente nas integrais). Em coordenadas cartesianas, o vetor d\vec{E} tem componentes
dE_x = dE\cos\theta,\qquad dE_y = dE\sin\theta,
mas lembrando o sentido: o vetor efetivo em O é na direção -\hat{r}, então há um sinal negativo na projeção direta. Vou montar a integral que já contém o sinal correto abaixo.
Passo 5
Pelo raciocínio de simetria, as componentes horizontais (x) de todos os d\vec{E} se cancelam (pois para cada \theta existe outro em \pi-\theta com x oposto). Assim \;E_x=0\;. A componente vertical total é
Expliquei o sinal: o fator - vem do fato de que a direção do campo por um elemento localizado em (R\cos\theta,R\sin\theta) aponta para O, i.e., na direção -\hat{r}; assim a projeção vertical tem sinal -\sin\theta.
Agora integramos:
Interpretação do sinal: \lambda é negativo, então -2k\lambda/R é positivo. Ou seja, E_y>0 (o campo aponta no sentido positivo do eixo y, isto é, para cima — sentido para a curvatura do semicírculo). A magnitude do campo é
E=\bigl|E_y\bigr|=\frac{2k|\lambda|}{R}.
Substituímos |\lambda|=|q|/L e L=\pi R para simplificar:
Fiz as contas com arredondamento adequado; o valor obtido é aproximadamente \;1{,}09\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}.
Passo 8
Interpretação final de direção e sentido (resumindo didaticamente):
A simetria horizontal cancela as componentes x.
Como a carga é negativa, cada elemento puxa o campo em direção ao arco; com o arco acima do centro, isso dá um campo resultante para cima (direção positiva do eixo y).
Se o arco estivesse abaixo do centro, o sentido seria oposto (para baixo).
Resposta
Magnitude: 1{,}09\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}
Direção: ao longo do eixo vertical passando por O (eixo y)
Sentido: para cima (sentido do centro em direção ao arco, isto é, sentido positivo de y)