Questão 4 | Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Um anel uniformemente carregado de raio \mathrm{d} 1=5,75 \mathrm{e}-02 \mathrm{~m} tem uma carga total de \mathrm{q} 1=1,04 \mathrm{e}-04 \mathrm{C}. Encontre o campo elétrico no eixo do anel afastado do seu centro a uma distância de d2=0,44 metros. Use k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2} e dê a resposta em Newtons por Coulomb.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico no eixo de um anel carregado, a uma certa distância do centro. Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
R = 5,75\times10^{-2}\\ \mathrm{m}
q = 1,04\times10^{-4}\\ \mathrm{C}
x = 0,44\\ \mathrm{m}
k = 9\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}
Pergunta: encontrar o campo elétrico (em \mathrm{N/C}) no ponto sobre o eixo do anel, a uma distância \,x=0,44\\ \mathrm{m} do centro do anel.

Passo 2

Ideia física e simetria (explicando devagar, passo a passo).
  • Pense no anel como composto por pequenos elementos de carga \mathrm{d}q.
  • Cada \mathrm{d}q gera um campo elétrico \mathrm{d}\mathbf{E} no ponto sobre o eixo. A componente perpendicular ao eixo (no plano do anel) de campos gerados por elementos simetricamente opostos se cancela por simetria, restando apenas a componente ao longo do eixo (chamo de eixo x aqui).
  • A componente axial de \mathrm{d}\mathbf{E}, que chamo \mathrm{d}E_x, vale (pela lei de Coulomb e geometria):
\mathrm{d}E_x = k\,\frac{\mathrm{d}q}{r^2}\cos\theta
onde r é a distância do elemento até o ponto e \theta é o ângulo entre \mathrm{d}\mathbf{E} e o eixo. Vou explicar r e \cos\theta agora.

Passo 3

Definição geométrica das variáveis (muito claro):
  • A distância do elemento de carga no anel até o ponto sobre o eixo é
r = \sqrt{x^2 + R^2}.
  • O cosseno do ângulo entre a linha que liga \mathrm{d}q ao ponto e o eixo (isto é, a componente axial) é
\cos\theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}.
Substituindo em \mathrm{d}E_x:
\mathrm{d}E_x = k\,\frac{\mathrm{d}q}{r^2}\cdot\frac{x}{r} = k\,\frac{x\,\mathrm{d}q}{(x^2+R^2)^{3/2}}.
Note que a expressão não depende da posição angular do elemento \mathrm{d}q no anel, então ao integrar ao longo do anel apenas somamos \mathrm{d}q para obter q. Logo a integral dá:
E_x = k\,\frac{x}{(x^2+R^2)^{3/2}}\int \mathrm{d}q = k\,\frac{x\,q}{(x^2+R^2)^{3/2}}.
Essa é a fórmula padrão para o módulo do campo no eixo de um anel uniformemente carregado.

Passo 4

Explicando a fórmula e a direção:
  • A fórmula completa (módulo) que vamos usar é
E = k\,\frac{x\,q}{(x^2+R^2)^{3/2}}.
  • Se q>0 (como aqui), o campo aponta para fora do anel ao longo do eixo (ou seja, na direção do eixo que aponta para o ponto a distância x do centro). Se q<0, o campo apontaria no sentido oposto.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente passo a passo. Primeiro calculo dos quadrados:
R^2 = \bigl(5,75\times10^{-2}\bigr)^2 = 3,30625\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
x^2 = (0,44)^2 = 0,1936\\ \mathrm{m^2}.
Somando:
x^2+R^2 = 0,1936 + 0,00330625 = 0,19690625\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Agora o denominador (x^2+R^2)^{3/2}. Primeiro a raiz quadrada:
\sqrt{x^2+R^2}=\sqrt{0,19690625}\approx 0,443742\\ \mathrm{m}.
Agora elevando ao cubo (ou multiplicando a soma pelo seu quadrado raiz):
(x^2+R^2)^{3/2} = (x^2+R^2)\sqrt{x^2+R^2} =0,19690625\times0,443742\approx 0,0873755\\ \mathrm{m^3}.

Passo 7

Calculo do numerador k\,q\,x:
k\,q\,x = 9\times10^{9}\times 1,04\times10^{-4}\times 0,44.
Faço em duas etapas:
9\times10^{9}\times 1,04\times10^{-4} = 9{,}36\times10^{5},
9{,}36\times10^{5}\times 0,44 = 4{,}1184\times10^{5}.
Portanto o numerador é \,4{,}1184\times10^{5}.

Passo 8

Dividindo numerador pelo denominador para obter o módulo do campo:
E = \frac{4{,}1184\times10^{5}}{0{,}0873755}\\ \mathrm{N/C}\approx 4{,}71\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
(Arredondei para três algarismos significativos; o valor computado com mais precisão é cerca de 4{,}713\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.)

Passo 9

Interpretação final curta e ânimo:
  • Como q>0, o campo aponta para fora do anel ao longo do eixo (no sentido que vai do centro do anel para o ponto a x=0,44\\ \mathrm{m}). Você chegou até aqui — só falta conferir o resultado!

Resposta

4{,}71\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}

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