Questão 3 Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Duas cargas pontuais de \mathrm{q} 1=2,23 \mathrm{e}-06 \mathrm{C} estão situadas no eixo x . Uma está situada em \mathrm{x}=\mathrm{d} 1=1,49 \mathrm{~m} e a outra em \mathrm{x}=\mathrm{d} 2=-0,94 \mathrm{~m}. Determine o campo elétrico na direção y em \mathrm{x}=0, \mathrm{y}=0,41 \mathrm{~m}. Use k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2} e dê a resposta em Newtons por Coulomb.

Passo 1

O enunciado pede o valor do campo elétrico na direção y no ponto (x,y)=(0,\,0,41~\mathrm{m}) devido a duas cargas pontuais colocadas no eixo x. Informações dadas (extraídas do enunciado):
q_1 = 2,23\times10^{-6}~\mathrm{C}
As duas cargas têm o mesmo valor informado acima (o enunciado apresenta uma única carga numerada, então consideramos que ambas as cargas têm esse valor):
q_2 = 2,23\times10^{-6}~\mathrm{C}
Posições das cargas (no eixo x, com y=0):
x_1 = d_1 = 1,49~\mathrm{m},\qquad x_2 = d_2 = -0,94~\mathrm{m}
Ponto onde queremos o campo:
P:(x_P,y_P)=(0,\,0,41~\mathrm{m})
Constante eletrostática fornecida:
k = 9\times10^{9}~\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}
O que se pede explicitamente: o componente do campo elétrico na direção y em P, isto é E_y(P).
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Vamos usar a forma vetorial da lei de Coulomb para campo elétrico de uma carga pontual e explicar cada coisa com calma.
Fórmula vetorial de cada contribuição de uma carga q localizada em \vec{r}_q no ponto \vec{r}:
\vec{E}(\vec{r}) = k\,q\,\frac{\vec{r}-\vec{r}_q}{\|\vec{r}-\vec{r}_q\|^{3}}.
Explicando as variáveis:
  • \vec{r} é a posição do ponto onde queremos o campo (aqui \vec{r}=(0,\,0,41)).
  • \vec{r}_q é a posição da carga (por exemplo \vec{r}_1=(1,49,\,0)).
  • \vec{r}-\vec{r}_q é o vetor que vai da carga até o ponto P.
  • \|\vec{r}-\vec{r}_q\| é o comprimento (módulo) desse vetor.
  • O denominador em terceira potência aparece porque a expressão vetorial é kq\,\hat{r}/r^{2} e \hat{r}=(\vec{r}-\vec{r}_q)/r, então junta-se para dar kq(\vec{r}-\vec{r}_q)/r^{3}.
Como há duas cargas, o campo total é soma vetorial:
\vec{E}_{\text{total}}=\vec{E}_1+\vec{E}_2.
Queremos apenas a componente y dessa soma: E_{y}=E_{1y}+E_{2y}.

Passo 3

Calculemos os vetores posição relativos e suas normas.
Posição do ponto P:
\vec{r}=(0,\,0,41)~\mathrm{m}.
Posições das cargas:
\vec{r}_1=(1,49,\,0)~\mathrm{m},\qquad \vec{r}_2=(-0,94,\,0)~\mathrm{m}.
Vetores de cada carga até P:
\vec{r}-\vec{r}_1 = (0-1,49,\;0,41-0) = (-1,49,\;0,41)~\mathrm{m},
\vec{r}-\vec{r}_2 = (0-(-0,94),\;0,41-0) = (0,94,\;0,41)~\mathrm{m}.
Agora as normas (distâncias) ao quadrado e em módulo.
Para a carga 1:
\|\vec{r}-\vec{r}_1\|^{2} = 1,49^{2}+0,41^{2} = 2,2201+0,1681 = 2,3882~\mathrm{m^{2}}.
\|\vec{r}-\vec{r}_1\| = \sqrt{2,3882} \approx 1,54571~\mathrm{m}.
Para a carga 2:
\|\vec{r}-\vec{r}_2\|^{2} = 0,94^{2}+0,41^{2} = 0,8836+0,1681 = 1,0517~\mathrm{m^{2}}.
\|\vec{r}-\vec{r}_2\| = \sqrt{1,0517} \approx 1,02557~\mathrm{m}.
Também vamos precisar do cubo da distância (porque aparece em r^{3}):
\|\vec{r}-\vec{r}_1\|^{3} = (1,54571)\times(2,3882) \approx 3,6919~\mathrm{m^{3}},
\|\vec{r}-\vec{r}_2\|^{3} = (1,02557)\times(1,0517) \approx 1,0780~\mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Calculemos a constante multiplicativa kq que aparece em cada contribuição:
kq = (9\times10^{9})\times(2,23\times10^{-6}) = 9\times2,23\times10^{3} = 20,07\times10^{3} = 20070.
Unidade: kq tem unidades de \mathrm{N\cdot m^{2}/C}, mas ao dividir por r^{3} o resultado fica em \mathrm{N/C} como deve ser.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula componente a componente. Para lembrar, se \vec{r}-\vec{r}_q=(\Delta x,\Delta y), então as componentes são
E_x = kq\,\frac{\Delta x}{(\Delta x^{2}+\Delta y^{2})^{3/2}},\qquad E_y = kq\,\frac{\Delta y}{(\Delta x^{2}+\Delta y^{2})^{3/2}}.
Para a carga 1 ( \Delta x_1=-1,49,\\ \Delta y_1=0,41):
E_{1x} = 20070\cdot\frac{-1,49}{3,6919}\approx 20070\cdot\left(-0,403\right)\approx -8100~\mathrm{N/C}.
(Detalhe do cálculo: -1,49/3,6919\approx -0,403, então 20070\times-0,403\approx-8100.)
E_{1y} = 20070\cdot\frac{0,41}{3,6919}\approx 20070\cdot0,111\approx 2229~\mathrm{N/C}.
(Detalhe: 0,41/3,6919\approx0,111, multiplicando dá aproximadamente 2229.)
Para a carga 2 ( \Delta x_2=0,94,\\ \Delta y_2=0,41):
E_{2x} = 20070\cdot\frac{0,94}{1,0780}\approx 20070\cdot0,872\approx 17500~\mathrm{N/C}.
(Detalhe: 0,94/1,0780\approx0,872.)
E_{2y} = 20070\cdot\frac{0,41}{1,0780}\approx 20070\cdot0,381\approx 7633~\mathrm{N/C}.
(Detalhe: 0,41/1,0780\approx0,381.)
Observação rápida sobre sinais: E_{1y} e E_{2y} são positivos porque ambas as cargas estão abaixo (no eixo x) do ponto P, então o campo devido a cada carga no ponto aponta para cima (componente +y) se as cargas são positivas, o que é o caso aqui.

Passo 6

Somamos as componentes y para obter o componente total pedido:
E_{y} = E_{1y}+E_{2y} \approx 2229 + 7633 = 9862~\mathrm{N/C}.
Portanto o campo elétrico na direção y em P é aproximadamente 9862~\mathrm{N/C} apontando no sentido positivo de y.

Resposta

E_{y}=9,862\times10^{3}~\mathrm{N/C}

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