Questão 3: Marque a opção que representa a série de Taylor da função \frac{1}{1+x} com centro em
x_{0}=0 :
a) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} ; b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2 n}}{2 n}; c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}; d) \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}; e) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de \frac{1}{1+x} centrada em x_{0}=0. O conteúdo é série de potências e vamos usar a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Para \lvert r\rvert<1 vale
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}.
Reescrevendo
\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)},
temos, com r=-x,
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.

Passo 3

Separamos o termo n=0:
1 - x + x^{2} - x^{3} + \cdots = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.
Como as opções somam de n=1 em diante, a que coincide é
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.

Resposta

a

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