Questão 3.
(b) A soma I_{x}+\overline{I_{y}}+I_{z} é invariante sob rotações do sistema de coordenadas?

Passo 1

O enunciado pergunta se a soma I_{x}+\overline{I_{y}}+I_{z} é invariante sob rotações do sistema de coordenadas. As informações relevantes que tenho (diretamente do enunciado) são:
  • Existe uma quantidade I_{x} associada ao eixo x.
  • Existe uma quantidade I_{z} associada ao eixo z.
  • Existe uma quantidade \overline{I_{y}} que parece ser uma componente relacionada ao eixo y depois de alguma mudança (a barra sugere que é o valor do momento de inércia em y em outro sistema ou transformado).
    O enunciado pede que eu avalie a invariância dessa soma quando eu rotacionar o sistema de coordenadas.

Passo 2

Vou explicar a teoria necessária, devagarinho e com jeitinho: momentos de inércia e o tensor de inércia.
  • Para um conjunto de massas (corpo rígido) o tensor de inércia é uma matriz 3\times3 que reúne as informações dos momentos e produtos de inércia. Denoto essa matriz por \mathbf{I}.
  • Em uma base cartesianas cujos eixos são x,y,z, os elementos diagonais do tensor são (com notação usual)
I_{xx}=I_x,\qquad I_{yy}=I_y,\qquad I_{zz}=I_z,
ou seja, os momentos de inércia em torno de cada eixo aparecem na diagonal.
  • O traço da matriz \mathbf{I} é a soma das diagonais:
\operatorname{tr}(\mathbf{I})=I_x+I_y+I_z.
Esse traço tem um papel importante: ele é a soma dos momentos de inércia em torno dos três eixos de um mesmo sistema de referência.

Passo 3

Agora explico como o tensor de inércia se transforma sob rotações de coordenadas (essa é a chave).
  • Se eu rotaciono o sistema de coordenadas usando uma matriz ortogonal de rotação \mathbf{R} (ou seja, \mathbf{R}\mathbf{R}^{T}=\mathbf{R}^{T}\mathbf{R}=\mathbf{I}_{3}), o tensor de inércia na nova base é
\mathbf{I}'=\mathbf{R}\,\mathbf{I}\,\mathbf{R}^{T}.
  • Um fato muito útil sobre traço é que ele é invariante por mudança de base: para quaisquer matrizes quadradas compatíveis vale \operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\operatorname{tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}). Usando isso,
\operatorname{tr}(\mathbf{I}')=\operatorname{tr}(\mathbf{R}\mathbf{I}\mathbf{R}^{T})=\operatorname{tr}(\mathbf{R}^{T}\mathbf{R}\mathbf{I})=\operatorname{tr}(\mathbf{I}),
pois \mathbf{R}^{T}\mathbf{R}=\mathbf{I}_{3}.
  • Conclusão útil: a soma dos três momentos diagonais em UMA MESMA base, \,I_x+I_y+I_z=\operatorname{tr}(\mathbf{I})\,, é invariante ante rotações do sistema de coordenadas.

Passo 4

Interpreto o que o enunciado escreveu: a expressão dada é I_{x}+\overline{I_{y}}+I_{z}. Existem duas interpretações plausíveis:
  1. Interpretação A: As três quantidades I_x,\overline{I_y},I_z são os elementos diagonais do tensor na mesma base (ou seja, a barra é só notação e \overline{I_y}=I_y na mesma base). Nesse caso a soma é o traço e, pela propriedade acima, é invariante.
  2. Interpretação B: I_x e I_z são momentos no sistema original, enquanto \overline{I_y} é o momento em torno do eixo y medido em um sistema rotacionado (ou seja, misturou-se um componente de uma base com componentes de outra base). Nessa situação a soma mistura componentes de bases diferentes e não corresponde ao traço de nenhuma única matriz de inércia; portanto, em geral, essa soma NÃO será invariante sob rotações.

Passo 5

Para ficar bem claro, mostro um exemplo numérico simples que ilustra a Interpretação B (mostra que, ao misturar bases, a soma não é preservada).
  • Suponha que, numa base original, o tensor de inércia seja diagonal:
\mathbf{I}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 2 & 0\\[4pt]0 & 0 & 3\end{pmatrix}.
Então I_x=1,\;I_y=2,\;I_z=3 e o traço é 1+2+3=6.
  • Agora rotacione o sistema trocando os eixos y e z (por exemplo uma rotação apropriada de 90^\circ que permute y e z). A matriz diagonal na nova base fica
\mathbf{I}'=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 3 & 0\\[4pt]0 & 0 & 2\end{pmatrix},
logo o novo momento em y é \overline{I_y}=3.
  • Se eu formar a soma misturando o I_x original e o I_z original com \overline{I_y}, obtenho
I_x+\overline{I_y}+I_z = 1 + 3 + 3 = 7,
que é diferente de 6. Portanto essa soma mista não é preservada pela rotação.]

Passo 6

Resumo didático e a regra prática para a prova (o que decorar e como responder rápido):
  • Se a soma é a soma das três componentes diagonais do tensor de inércia todas referidas à mesma base (ou seja, \,I_x+I_y+I_z=\operatorname{tr}(\mathbf{I})), então SIM: essa soma é invariante sob rotações.
  • Se, porém, a soma mistura componentes medidas em bases diferentes (por exemplo I_x e I_z na base original e \overline{I_y} na base rotacionada), então NÃO: em geral não é invariante.
    Na hora da prova, verifique sempre se todos os termos da soma estão na mesma base. Se estiverem, responda que é invariante; se não, responda que não é invariante e, se pedirem, dê um contraexemplo simples como o acima.

Resposta

Não, salvo no caso especial em que I_x, \overline{I_y} e I_z sejam as três componentes diagonais do mesmo tensor de inércia (isto é, todas referidas à mesma base). Nesse caso a soma é o traço \operatorname{tr}(\mathbf{I}) e é invariante; se os termos vierem de bases diferentes, a soma em geral não é invariante.

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