(Questão 3) Um objeto com altura de 2 cm está a 12 cm de um espelho concavo com raio de curvatura de 10 cm . Localize a imagem e a identifique. Qual é a altura da imagem?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Altura do objeto: \,h_o = 2\\ \text{cm}.
    • Distância do objeto ao espelho: \,d_o = 12\\ \text{cm}.
    • Raio de curvatura do espelho côncavo: \,R = 10\\ \text{cm}.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Localizar a imagem e identificá‑la (se é real ou virtual, se é direita ou invertida, se é aumentada ou reduzida, e em que distância do espelho ela se forma).
    2. Determinar a altura da imagem.

Passo 2

Primeiro vamos obter a distância focal do espelho a partir do raio de curvatura. Para espelhos esféricos a relação entre focal f e raio de curvatura R é:
f=\frac{R}{2}.
Aqui R=10\\ \text{cm}, logo
f=\frac{10}{2}=5\\ \text{cm}.
Explicação rápida e prática: o ponto focal fica no meio do centro de curvatura para espelhos esféricos; para espelho côncavo tomamos f>0.

Passo 3

Agora usamos a equação dos espelhos (fórmula dos pontos conjugados), que relaciona distância do objeto d_o, distância da imagem d_i e distância focal f:
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.
Explicando as variáveis:
  • \,f é a distância focal medida a partir do vértice do espelho.
  • \,d_o é a distância do objeto ao espelho (positiva quando o objeto está na frente do espelho, que é o caso usual).
  • \,d_i é a distância da imagem ao espelho (o sinal de d_i indica se a imagem é real ou virtual: d_i>0 indica imagem real do mesmo lado do objeto para espelhos); vamos interpretar o sinal depois do cálculo.

Passo 4

Isolamos \,d_i na equação e calculamos passo a passo:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}.
Substituindo os valores \,f=5\\ \text{cm} e \,d_o=12\\ \text{cm}:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{5}-\frac{1}{12}.
Fazendo a subtração de frações com denominador comum 60:
\frac{1}{d_i}=\frac{12-5}{60}=\frac{7}{60}.
Invertemos para obter \,d_i:
d_i=\frac{60}{7}\\ \text{cm}\approx 8,57\\ \text{cm}.
Interpretação do sinal e valor: \,d_i>0, então a imagem é real e forma‑se do mesmo lado do espelho que o objeto (lado do espaço à frente do espelho). A distância exata é \,d_i=\tfrac{60}{7}\\ \text{cm}.

Passo 5

Agora calculamos a ampliação (magnificação) linear \,m, que relaciona alturas e distâncias:
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o}.
Explicando: a fórmula diz que a razão entre altura da imagem h_i e altura do objeto h_o é igual a negativo da razão entre distâncias; o sinal negativo indica que, quando m<0, a imagem está invertida em relação ao objeto; o módulo |m| maior que 1 significa imagem aumentada, menor que 1 significa reduzida.
Substituímos \,d_i=\tfrac{60}{7} e \,d_o=12:
m=-\frac{\tfrac{60}{7}}{12}=-\frac{60}{7}\cdot\frac{1}{12}=-\frac{60}{84}=-\frac{5}{7}.
Em forma decimal isso é aproximadamente -0,714.

Passo 6

Com a ampliação, obtemos a altura da imagem \,h_i:
h_i=m\,h_o=-\frac{5}{7}\cdot 2 = -\frac{10}{7}\\ \text{cm}\approx -1,43\\ \text{cm}.
Interpretação do sinal e do valor absoluto:
  • O sinal negativo em h_i indica que a imagem é invertida em relação ao objeto (de cabeça para baixo).
  • O valor absoluto \left|h_i\right|=\tfrac{10}{7}\\ \text{cm}\approx 1,43\\ \text{cm} mostra que a imagem é menor que o objeto (reduzida), porque |m|=\tfrac{5}{7}<1.

Passo 7

Resumo interpretativo pronto para a prova:
  • A imagem forma‑se a \tfrac{60}{7}\\ \text{cm} (aprox. \,8,57\\ \text{cm}) do espelho, do mesmo lado do objeto.
  • Como \,d_i>0 e m<0: a imagem é real, invertida e reduzida.
  • A altura algébrica da imagem é -\tfrac{10}{7}\\ \text{cm}, ou seja, imagem invertida com altura \tfrac{10}{7}\\ \text{cm} (aprox. \,1,43\\ \text{cm}).

Resposta

A imagem está a \tfrac{60}{7}\\ \text{cm} (aprox. 8,57\\ \text{cm}) do espelho; é real, invertida e reduzida.
A altura da imagem é -\tfrac{10}{7}\\ \text{cm} (imagem invertida com módulo \tfrac{10}{7}\\ \text{cm}\approx 1,43\\ \text{cm}).

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