(Questão 3) Um objeto com altura de 2 cm está a 12 cm de um espelho concavo com raio de curvatura de 10 cm . Localize a imagem e a identifique. Qual é a altura da imagem?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
- Dados fornecidos:
- Altura do objeto:
. - Distância do objeto ao espelho:
. - Raio de curvatura do espelho côncavo:
.
- Altura do objeto:
- Perguntas do enunciado:
- Localizar a imagem e identificá‑la (se é real ou virtual, se é direita ou invertida, se é aumentada ou reduzida, e em que distância do espelho ela se forma).
- Determinar a altura da imagem.
Passo 2
Primeiro vamos obter a distância focal do espelho a partir do raio de curvatura. Para espelhos esféricos a relação entre focal
e raio de curvatura
é:
Aqui
, logo
Explicação rápida e prática: o ponto focal fica no meio do centro de curvatura para espelhos esféricos; para espelho côncavo tomamos
.
Passo 3
Agora usamos a equação dos espelhos (fórmula dos pontos conjugados), que relaciona distância do objeto
, distância da imagem
e distância focal
:
Explicando as variáveis:
-
é a distância focal medida a partir do vértice do espelho. -
é a distância do objeto ao espelho (positiva quando o objeto está na frente do espelho, que é o caso usual). -
é a distância da imagem ao espelho (o sinal de indica se a imagem é real ou virtual: indica imagem real do mesmo lado do objeto para espelhos); vamos interpretar o sinal depois do cálculo.
Passo 4
Isolamos
na equação e calculamos passo a passo:
Substituindo os valores
e
:
Fazendo a subtração de frações com denominador comum
:
Invertemos para obter
:
Interpretação do sinal e valor:
, então a imagem é real e forma‑se do mesmo lado do espelho que o objeto (lado do espaço à frente do espelho). A distância exata é
.
Passo 5
Agora calculamos a ampliação (magnificação) linear
, que relaciona alturas e distâncias:
Explicando: a fórmula diz que a razão entre altura da imagem
e altura do objeto
é igual a negativo da razão entre distâncias; o sinal negativo indica que, quando
, a imagem está invertida em relação ao objeto; o módulo
maior que
significa imagem aumentada, menor que
significa reduzida.
Substituímos
e
:
Em forma decimal isso é aproximadamente
.
Passo 6
Com a ampliação, obtemos a altura da imagem
:
Interpretação do sinal e do valor absoluto:
- O sinal negativo em
indica que a imagem é invertida em relação ao objeto (de cabeça para baixo). - O valor absoluto
mostra que a imagem é menor que o objeto (reduzida), porque .
Passo 7
Resumo interpretativo pronto para a prova:
- A imagem forma‑se a
(aprox. ) do espelho, do mesmo lado do objeto. - Como
e : a imagem é real, invertida e reduzida. - A altura algébrica da imagem é
, ou seja, imagem invertida com altura (aprox. ).
Resposta
A imagem está a
(aprox.
) do espelho; é real, invertida e reduzida.
A altura da imagem é (imagem invertida com módulo
).
A altura da imagem é