(Questão 2) Um feixe de luz não polarizada, com uma intensidade de 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, atravessa um sistema composto por quatro filtros polarizadores cujos ângulos de polarização são \theta_{1}=40^{\circ}, \theta_{2}=30^{\circ}, \theta_{3}=20^{\circ} e \theta_{4}=10^{\circ}. Qual é a intensidade da luz transmitida pelo sistema?

Passo 1

O enunciado pede a intensidade da luz que sai de um sistema de quatro polarizadores. Informações dadas: \
  • Intensidade do feixe não polarizado incidente: \,I_0=15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. \
  • Ângulos de polarização (em relação a um mesmo referencial): \theta_1=40^\circ, \theta_2=30^\circ, \theta_3=20^\circ e \theta_4=10^\circ. \
    A pergunta é: qual é a intensidade transmitida pelo sistema composto por esses quatro polarizadores?

Passo 2

Quando luz não polarizada atravessa um polarizador, a componente de intensidade transmitida é a metade da intensidade incidente. Escrevendo isso:
I_1=\frac{I_0}{2}.
Breve justificativa: a luz não polarizada tem todas as direções de polarização igualmente prováveis; a média de \cos^2\varphi sobre todas as direções vale \tfrac{1}{2}, pois
\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\varphi\,d\varphi=\frac{1}{2}.
Portanto metade da intensidade passa pelo primeiro polarizador.

Passo 3

Para luz já polarizada que incide num polarizador cuja direção faz um ângulo \varphi com a direção da polarização do campo, a intensidade transmitida é dada pela lei de Malus:
I_{\text{out}}=I_{\text{in}}\cos^2\varphi,
onde I_{\text{in}} é a intensidade antes do polarizador e I_{\text{out}} é a intensidade após o polarizador. Aqui \varphi é o ângulo entre a direção de polarização da luz incidente e o eixo do polarizador.

Passo 4

Aplicamos a lei de Malus entre polarizadores sucessivos. Precisamos dos ângulos relativos entre polarizadores consecutivos:
\Delta\theta_{12}=|\theta_2-\theta_1|=|30^\circ-40^\circ|=10^\circ,
\Delta\theta_{23}=|\theta_3-\theta_2|=|20^\circ-30^\circ|=10^\circ,
\Delta\theta_{34}=|\theta_4-\theta_3|=|10^\circ-20^\circ|=10^\circ.
Ou seja, cada par consecutivo tem diferença de 10^\circ.

Passo 5

A intensidade final após os quatro polarizadores é o produto das reduções: metade na primeira etapa e fatores \cos^2 para cada passagem entre polarizadores já polarizados. Assim
I_{\text{final}}=I_1\cos^2(\Delta\theta_{12})\cos^2(\Delta\theta_{23})\cos^2(\Delta\theta_{34}).
Substituindo I_1=\dfrac{I_0}{2} e sabendo que todas as \Delta\theta valem 10^\circ,
I_{\text{final}}=\frac{I_0}{2}\big(\cos^2 10^\circ\big)^3=\frac{I_0}{2}\cos^6 10^\circ.

Passo 6

Agora números. Primeiro calculamos \cos 10^\circ (valor aproximado):
\cos 10^\circ\approx 0,9848077530.
Então
\cos^2 10^\circ\approx 0,9698463104,
\cos^6 10^\circ=(\cos^2 10^\circ)^3\approx 0,9698463104^3\approx 0,91252397.
Substituindo em I_{\text{final}}=\dfrac{I_0}{2}\cos^6 10^\circ com I_0=15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2:
I_{\text{final}}=\frac{15}{2}\times 0,91252397\approx 7,5\times 0,91252397\approx 6,8439298\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Arredondando razoavelmente, obtemos aproximadamente 6,84\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Resposta

\;6,84\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2

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