(Questão 2) Um objeto gira em uma centrífuga com, 10 m de raio de acordo com a equação theta=0,003 e^ t em que t está em segundos e theta em radianos. No instante t=5 s, qual é o módulo (a) da velocidade angular, (b) da velocidade linear, © da aceleração tangencial e (d) da aceleração radial?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um objeto girando numa centrífuga com raio de 10 metros. A posição angular desse objeto é dada pela equação theta = 0,003 e^t, onde t está em segundos e theta em radianos. A pergunta quer saber, no instante t = 5 segundos, qual é o módulo de quatro coisas: (a) velocidade angular, (b) velocidade linear, © aceleração tangencial e (d) aceleração radial. Para resolver isso, vamos precisar entender de cinemática rotacional, derivadas para encontrar velocidades e acelerações, e as relações entre velocidade angular e linear.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular. A velocidade angular ( omega) é a derivada da posição angular ( theta) em relação ao tempo ( t). Então, vamos derivar a função theta = 0,003 e^t:
omega = dthetadt = 0,003 e^t
Agora, substituímos t = 5 segundos na expressão:
omega = 0,003 e^5 approx 0,003 times 148,413 approx 0,445 rad/s

Passo 3

Agora, vamos para a velocidade linear ( v). A velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
v = omega times R
Onde R é o raio da centrífuga, que é 10 metros. Então:
v = 0,445 times 10 = 4,45 m/s

Passo 4

Seguimos para a aceleração tangencial ( at). A aceleração tangencial é a derivada da velocidade linear em relação ao tempo, mas também pode ser encontrada como:
at = domegadt times R
Primeiro, encontramos a derivada de omega:
domegadt = ddt(0,003 e^t) = 0,003 e^t
Substituindo t = 5:
domegadt = 0,003 times 148,413 approx 0,445 rad/s^2
Então, a aceleração tangencial é:
at = 0,445 times 10 = 4,45 m/s^2

Passo 5

Por fim, vamos calcular a aceleração radial ( ar). A aceleração radial, também conhecida como aceleração centrípeta, é dada por:
ar = omega^2 times R
Substituindo os valores que já temos:
ar = (0,445)^2 times 10 approx 0,198 times 10 = 1,98 m/s^2

Resposta

(a) Velocidade angular: 0,445 rad/s
(b) Velocidade linear: 4,45 m/s
© Aceleração tangencial: 4,45 m/s^2
(d) Aceleração radial: 1,98 m/s^2

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