(Questão 2) Um objeto gira em uma centrífuga com, 10 m de raio de acordo com a equação
em que t está em segundos e
em radianos. No instante
, qual é o módulo (a) da velocidade angular, (b) da velocidade linear, © da aceleração tangencial e (d) da aceleração radial?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um objeto girando numa centrífuga com raio de 10 metros. A posição angular desse objeto é dada pela equação
, onde
está em segundos e
em radianos. A pergunta quer saber, no instante
segundos, qual é o módulo de quatro coisas: (a) velocidade angular, (b) velocidade linear, © aceleração tangencial e (d) aceleração radial. Para resolver isso, vamos precisar entender de cinemática rotacional, derivadas para encontrar velocidades e acelerações, e as relações entre velocidade angular e linear.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular. A velocidade angular (
) é a derivada da posição angular (
) em relação ao tempo (
). Então, vamos derivar a função
:
Agora, substituímos
segundos na expressão:
Passo 3
Agora, vamos para a velocidade linear (
). A velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
Onde
é o raio da centrífuga, que é 10 metros. Então:
Passo 4
Seguimos para a aceleração tangencial (
). A aceleração tangencial é a derivada da velocidade linear em relação ao tempo, mas também pode ser encontrada como:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Substituindo
:
Então, a aceleração tangencial é:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a aceleração radial (
). A aceleração radial, também conhecida como aceleração centrípeta, é dada por:
Substituindo os valores que já temos:
Resposta
(a) Velocidade angular:
(b) Velocidade linear:
© Aceleração tangencial:
(d) Aceleração radial: