Questão 1. Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 1 / 3 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 litros por minuto possuindo uma concentração de (t+100) 10^{-4} gramas de sal por litro ( t em minutos). Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 1 litro por minuto. Modele o problema encontrando uma equação diferencial para a quantidade de sal no tanque, Q(t). Encontre a solução geral da equação diferencial e a quantidade de sal em função do tempo. Qual o valor da concentração no momento em que o tanque enche, se a sua capacidade é de 200 litros?
a \frac{7}{200} gramas por litro.
d \frac{1}{90} gramas por litro.
(b) \frac{1}{100} gramas por litro.
(e) \frac{7}{100} gramas por litro.
c \frac{7}{300} gramas por litro.
  • \frac{1}{80} gramas por litro.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Volume inicial do tanque: 100 litros.
  • Quantidade inicial de sal: Q(0)=\tfrac{1}{3} gramas.
  • Taxa de entrada de solução: 2 litros/min.
  • Concentração da solução que entra: (t+100)10^{-4} gramas por litro, com t em minutos. (Peguei essa expressão do enunciado.)
  • Taxa de saída de solução: 1 litro/min.
  • O tanque é bem misturado (ou seja, a concentração da saída é a concentração instantânea no tanque).
  • Capacidade do tanque: 200 litros. Pergunta: qual a concentração quando o tanque enche?
O que é pedido:
  1. Modelar por uma equação diferencial a quantidade de sal Q(t).
  2. Encontrar a solução geral da equação diferencial e a solução particular com a condição inicial.
  3. Encontrar a concentração no momento em que o tanque atinge 200 litros.

Passo 2

Primeiro vamos modelar. A regra geral para esse tipo de problema (tanque bem misturado) é:
\frac{dQ}{dt} = \text{taxa de entrada de sal} - \text{taxa de saída de sal}.í
  • Taxa de entrada de sal = \text{(vazão entrada)}\times\text{(concentração entrada)} = 2\cdot (t+100)10^{-4}.ãçã
  • Volume do líquido no tanque varia porque entrada e saída têm taxas diferentes. Volume instantâneo:
V(t)=100 + (2-1)t = 100+t \quad\text{(litros)}.
  • A concentração na saída (por mistura perfeita) é \dfrac{Q(t)}{V(t)} = \dfrac{Q(t)}{100+t}. Como a vazão de saída é 1 L/min, a taxa de saída de sal é 1\cdot \dfrac{Q(t)}{100+t} = \dfrac{Q(t)}{100+t}.
Portanto a equação diferencial é
\frac{dQ}{dt} = 2\cdot10^{-4}(t+100) - \frac{Q}{100+t}.
Escrevendo em forma linear padrão:
\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{100+t}\,Q = 2\cdot10^{-4}(t+100).

Passo 3

Agora vamos resolver essa equação linear de primeira ordem com o método do fator integrante. Para uma equação da forma
\frac{dQ}{dt} + p(t)Q = g(t),
o fator integrante é \mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Aqui p(t)=\dfrac{1}{100+t}, logo
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{100+t}\,dt\right)=\exp\!\left(\ln(100+t)\right)=100+t.
Multiplicando a equação por \mu(t)=100+t, obtemos
(100+t)\frac{dQ}{dt} + Q = 2\cdot10^{-4}(t+100)^2.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big((100+t)Q\big) = 2\cdot10^{-4}(t+100)^2.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a t:
(100+t)Q = 2\cdot10^{-4}\int (t+100)^2\,dt + C.
Fazendo a primitiva (usar u=t+100 ou reconhecer a fórmula):
\int (t+100)^2\,dt = \frac{(t+100)^3}{3},
logo
(100+t)Q = 2\cdot10^{-4}\cdot\frac{(t+100)^3}{3} + C.
Dividindo por 100+t obtemos a solução geral:
Q(t) = \frac{2\cdot10^{-4}}{3}(t+100)^2 + \frac{C}{t+100}.

Passo 5

Aplicar a condição inicial Q(0)=\tfrac{1}{3} para determinar C. Em t=0:
\frac{1}{3} = \frac{2\cdot10^{-4}}{3}(100)^2 + \frac{C}{100}.
Calcule passo a passo:
100^2=10000,\qquad 10^{-4}\cdot10000=1,\qquad 2\cdot1=2,
portanto \dfrac{2\cdot10^{-4}}{3}\cdot100^2=\dfrac{2}{3}. Assim
\frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{C}{100}\quad\Rightarrow\quad \frac{C}{100}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}.
Logo C=-\dfrac{100}{3}.
Substituindo em Q(t):
Q(t) = \frac{2\cdot10^{-4}}{3}(t+100)^2 - \frac{100/3}{t+100}.
Pode também escrever
Q(t)=\frac{2}{3}\cdot 10^{-4}(t+100)^2 - \frac{100}{3(t+100)}.

Passo 6

Agora achar a concentração quando o tanque enche. O tanque enche quando V(t)=200, ou seja
100+t=200 \quad\Rightarrow\quad t_{\text{enche}}=100\\ \text{min}.
Calcule Q(100):
Q(100)=\frac{2\cdot10^{-4}}{3}(200)^2 - \frac{100/3}{200}.
Computando:
200^2=40000,\qquad 10^{-4}\cdot40000=4,\qquad 2\cdot4=8,\qquad \frac{8}{3}
e
-\frac{100/3}{200} = -\frac{100}{3\cdot200}= -\frac{1}{6}.
Portanto
Q(100)=\frac{8}{3}-\frac{1}{6}=\frac{16-1}{6}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=2{,}5\\ \text{gramas}.
A concentração (gramas por litro) no instante em que o tanque contém 200 L é
\text{concentração}=\frac{Q(100)}{200}=\frac{5/2}{200}=\frac{5}{400}=\frac{1}{80}\\ \text{g/L}.çã

Resposta

\displaystyle \frac{dQ}{dt}=2\cdot10^{-4}(t+100)-\frac{Q}{100+t}
\displaystyle Q(t)=\frac{2\cdot10^{-4}}{3}(t+100)^2+\frac{C}{t+100} (solução geral)
\displaystyle Q(t)=\frac{2\cdot10^{-4}}{3}(t+100)^2-\frac{100/3}{\,t+100\,} (solução particular com Q(0)=\tfrac{1}{3})
\displaystyle \text{Concentração ao encher}=\frac{1}{80}\\ \text{gramas por litro}çã

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