Questão 1. Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e
gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 litros por minuto possuindo uma concentração de
gramas de sal por litro (
em minutos). Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 1 litro por minuto. Modele o problema encontrando uma equação diferencial para a quantidade de sal no tanque,
. Encontre a solução geral da equação diferencial e a quantidade de sal em função do tempo. Qual o valor da concentração no momento em que o tanque enche, se a sua capacidade é de 200 litros?
a
gramas por litro.
d
gramas por litro.
(b)
gramas por litro.
(e)
gramas por litro.
c
gramas por litro.
-
gramas por litro.
a
d
(b)
(e)
c
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Volume inicial do tanque:
litros. - Quantidade inicial de sal:
gramas. - Taxa de entrada de solução:
litros/min. - Concentração da solução que entra:
gramas por litro, com em minutos. (Peguei essa expressão do enunciado.) - Taxa de saída de solução:
litro/min. - O tanque é bem misturado (ou seja, a concentração da saída é a concentração instantânea no tanque).
- Capacidade do tanque:
litros. Pergunta: qual a concentração quando o tanque enche?
O que é pedido:
- Modelar por uma equação diferencial a quantidade de sal
. - Encontrar a solução geral da equação diferencial e a solução particular com a condição inicial.
- Encontrar a concentração no momento em que o tanque atinge
litros.
Passo 2
Primeiro vamos modelar. A regra geral para esse tipo de problema (tanque bem misturado) é:
- Taxa de entrada de sal =
- Volume do líquido no tanque varia porque entrada e saída têm taxas diferentes. Volume instantâneo:
- A concentração na saída (por mistura perfeita) é
. Como a vazão de saída é L/min, a taxa de saída de sal é
Portanto a equação diferencial é
Escrevendo em forma linear padrão:
Passo 3
Agora vamos resolver essa equação linear de primeira ordem com o método do fator integrante. Para uma equação da forma
o fator integrante é
.
Aqui
, logo
Multiplicando a equação por
, obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
:
Fazendo a primitiva (usar
ou reconhecer a fórmula):
logo
Dividindo por
obtemos a solução geral:
Passo 5
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Em
:
Calcule passo a passo:
portanto
. Assim
Logo
.
Substituindo em
:
Pode também escrever
Passo 6
Agora achar a concentração quando o tanque enche. O tanque enche quando
, ou seja
Calcule
:
Computando:
e
Portanto
A concentração (gramas por litro) no instante em que o tanque contém
L é