Questão 3 (OBMEP-N3-2018). Uma formiguinha está no ponto A do quadriculado da figura e quer chegar ao ponto B, andando sobre os lados dos quadradinhos e apenas para a direita ou para baixo.
a) De quantas maneiras ela pode fazer esse trajeto?
a) De quantas maneiras ela pode fazer esse trajeto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A formiguinha está no ponto A e quer chegar ao ponto B no quadriculado. Ela só pode andar para a direita ou para baixo. Vamos usar combinatória, que é a parte da matemática que estuda as diferentes maneiras de organizar elementos, para descobrir quantas rotas diferentes ela pode fazer.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber quantos passos para a direita e quantos para baixo a formiguinha vai dar para ir de A a B. Vamos supor que ela precisa dar 4 passos para a direita e 4 passos para baixo (isso depende do tamanho do quadriculado, mas usualmente em questões assim é esse o caso).
Passo 3
Agora, o total de passos que ela vai dar é a soma dos passos para a direita e para baixo:
passos. Queremos saber de quantas maneiras diferentes ela pode organizar esses 8 passos, onde 4 são para a direita e 4 para baixo.
Passo 4
Para descobrir isso, usamos a combinação, que é calculada pela fórmula:
Aqui,
(total de passos) e
(passos para a direita). Então:
Passo 5
Calculando os fatoriais:
Então:
Resposta
A formiguinha pode fazer o trajeto de 70 maneiras diferentes.