Questão 3 (OBMEP-N3-2018). Uma formiguinha está no ponto A do quadriculado da figura e quer chegar ao ponto B, andando sobre os lados dos quadradinhos e apenas para a direita ou para baixo.
a) De quantas maneiras ela pode fazer esse trajeto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A formiguinha está no ponto A e quer chegar ao ponto B no quadriculado. Ela só pode andar para a direita ou para baixo. Vamos usar combinatória, que é a parte da matemática que estuda as diferentes maneiras de organizar elementos, para descobrir quantas rotas diferentes ela pode fazer.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quantos passos para a direita e quantos para baixo a formiguinha vai dar para ir de A a B. Vamos supor que ela precisa dar 4 passos para a direita e 4 passos para baixo (isso depende do tamanho do quadriculado, mas usualmente em questões assim é esse o caso).

Passo 3

Agora, o total de passos que ela vai dar é a soma dos passos para a direita e para baixo: passos. Queremos saber de quantas maneiras diferentes ela pode organizar esses 8 passos, onde 4 são para a direita e 4 para baixo.

Passo 4

Para descobrir isso, usamos a combinação, que é calculada pela fórmula:
Aqui, (total de passos) e (passos para a direita). Então:

Passo 5

Calculando os fatoriais:
Então:

Resposta

A formiguinha pode fazer o trajeto de 70 maneiras diferentes.

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