Qual é o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de
. Isso envolve o cálculo de um limite, que é um conceito importante em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites e, especificamente, sobre como lidar com expressões que parecem estar dando um “0/0”, o que chamamos de indeterminação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
. Se substituirmos diretamente
, teremos
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos encontrar outra maneira de calcular esse limite.
Passo 3
Uma maneira eficiente de resolver isso é usando a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a lidar com limites que resultam em formas indeterminadas como
. A regra diz que se
dá
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite de
.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital na nossa expressão, vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador: Se
, então . - Derivada do denominador: Se
, então .
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas na expressão original do limite:
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Agora, como
está se aproximando de 1, podemos substituir diretamente:
Resposta
O valor do limite é 2025.