Qual é o valor de lim x 1 x^2025-1x-1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de lim x 1 x^2025-1x-1. Isso envolve o cálculo de um limite, que é um conceito importante em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites e, especificamente, sobre como lidar com expressões que parecem estar dando um “0/0”, o que chamamos de indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite: x^2025-1x-1. Se substituirmos diretamente x = 1, teremos 1^2025-11-1 = 00, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos encontrar outra maneira de calcular esse limite.

Passo 3

Uma maneira eficiente de resolver isso é usando a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a lidar com limites que resultam em formas indeterminadas como 00. A regra diz que se limx to a f(x)g(x) 00 ou inftyinfty, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite de f'(x)g'(x).

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital na nossa expressão, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: Se f(x) = x^2025, então f'(x) = 2025 cdot x^2024.
  • Derivada do denominador: Se g(x) = x - 1, então g'(x) = 1.

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na expressão original do limite:
lim x 1 x^2025-1x-1 = lim x 1 2025 cdot x^20241

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
lim x 1 2025 cdot x^2024
Agora, como x está se aproximando de 1, podemos substituir diretamente:
2025 cdot 1^2024 = 2025 cdot 1 = 2025

Resposta

O valor do limite é 2025.

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