Use as propriedades do triângulo de Pascal para resolver os problemas abaixo:
a) Calcule o valor da soma
.
a) Calcule o valor da soma
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma soma que envolve multiplicações sequenciais:
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve propriedades de somas e um pouco de álgebra básica. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos que seguem um padrão específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor essa soma. Ela pode ser escrita de forma geral como:
Isso significa que estamos somando o produto de cada número
com
, de 1 até 100.
Passo 3
Vamos simplificar o termo dentro da soma:
Assim, nossa soma fica:
Aqui, separamos a soma em duas partes: uma envolvendo
e outra envolvendo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas somas separadamente. Primeiro, a soma dos quadrados:
Essa fórmula nos dá a soma dos quadrados dos primeiros
números naturais.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a soma dos números naturais:
Multiplicamos esse resultado por 2, conforme a expressão anterior:
Passo 6
Agora, somamos os dois resultados obtidos:
Resposta
A soma
é igual a 348.450.