Use as propriedades do triângulo de Pascal para resolver os problemas abaixo:
a) Calcule o valor da soma 1 * 3 + 2 * 4 + 3 * 5 + ... + 100 * 102.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma soma que envolve multiplicações sequenciais: . O conteúdo que vamos usar aqui envolve propriedades de somas e um pouco de álgebra básica. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos que seguem um padrão específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor essa soma. Ela pode ser escrita de forma geral como:
Isso significa que estamos somando o produto de cada número com , de 1 até 100.

Passo 3

Vamos simplificar o termo dentro da soma:
Assim, nossa soma fica:
Aqui, separamos a soma em duas partes: uma envolvendo e outra envolvendo .

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas somas separadamente. Primeiro, a soma dos quadrados:
Essa fórmula nos dá a soma dos quadrados dos primeiros números naturais.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a soma dos números naturais:
Multiplicamos esse resultado por 2, conforme a expressão anterior:

Passo 6

Agora, somamos os dois resultados obtidos:

Resposta

A soma é igual a 348.450.

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