Questão 6 (2.0) Determine as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida da reta r que passa no ponto A=(2,1,2), está contida no plano \pi_{1}: x-2 y+z=2 e é paralela ao plano \pi_{2}: x+y+z=0

Passo 1

O enunciado pede a reta r que passa por A=(2,1,2), está contida em \pi_{1}:x-2y+z=2 e é paralela a \pi_{2}:x+y+z=0. Para obter suas equações, precisamos de um ponto e de um vetor diretor. O ponto é A. O vetor diretor v deve satisfazer
  1. v está no plano \pi_{1}, logo v\cdot n_{1}=0 onde n_{1}=(1,-2,1) é o normal de \pi_{1}.
  2. r é paralela a \pi_{2}, logo v é ortogonal ao normal n_{2}=(1,1,1) de \pi_{2}, isto é v\cdot n_{2}=0.

Passo 2

Identificamos os vetores normais:
n_{1} = (1,\,-2,\,1), \quad n_{2} = (1,\,1,\,1).

Passo 3

Calculamos o vetor diretor como
v = n_{1}\times n_{2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-3,\,0,\,3).
Podemos simplificar para
v = (1,\,0,\,-1).

Passo 4

Equação vetorial da reta r:
r:\;\mathbf{r}(t) = (2,\,1,\,2) + t\,(1,\,0,\,-1), \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Equações paramétricas de r:
\begin{cases} x = 2 + t,\\\ y = 1,\\\ z = 2 - t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Equação simétrica de r:
\frac{x-2}{1} \;=\;\frac{y-1}{0}\;=\;\frac{z-2}{-1},
o que se traduz em
\frac{x-2}{1} = \frac{z-2}{-1}, \quad y = 1.

Passo 7

Equação reduzida (como interseção de dois planos):
y = 1
x + z = 4.

Resposta

Equação vetorial:
r:\;\mathbf{r}(t) = (2,\,1,\,2) + t\,(1,\,0,\,-1).
Equação paramétrica:
\begin{cases} x = 2 + t,\\\ y = 1,\\\ z = 2 - t, \end{cases} \;t\in\mathbb{R}.
Equação simétrica:
\frac{x-2}{1} = \frac{z-2}{-1},\quad y = 1.
Equação reduzida:
y = 1, \quad x + z = 4.

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