Questão 1. Obtenha as fórmulas para
  • o comprimento de arco,
  • integral de linha de funções (de 2 variáveis), e
  • integral de linha de campo vetorial (no plano),
    nos casos onde a curva (plana) é dada pelo gráfico de uma função de uma variável y=f(x).
    Dica: parametrize a curva por
\left\{\begin{array}{ccc} x & =x \\\ y & =f(x) \end{array}, a \leq x \leq b\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu obtenha fórmulas, nos casos em que a curva é o gráfico de uma função de uma variável y=f(x) com a\le x\le b, para:
  • o comprimento de arco da curva;
  • a integral de linha de uma função escalar de duas variáveis ao longo da curva;
  • a integral de linha de um campo vetorial (no plano) ao longo da curva.
As informações fornecidas que vou usar (peguei do enunciado):
  • a curva é o conjunto de pontos \{(x,f(x))\} com a\le x\le b;
  • a parametrização sugerida é
\left\{\begin{array}{l} x = x,\\[4pt] y = f(x), \end{array}\quad a\le x\le b\right.
isto é, o parâmetro é justamente x variando de a até b.]

Passo 2

Parametrização e vetor posição. Vou tratar x como parâmetro (às vezes escrevemos t, aqui usaremos x mesmo). O vetor posição da curva é
\mathbf{r}(x)=\bigl(x,\;f(x)\bigr),\qquad a\le x\le b.
Derivando em relação a x (assumindo que f é diferenciável em [a,b]), obtemos o vetor tangente (derivada)
\mathbf{r}'(x)=\bigl(1,\;f'(x)\bigr).
Explicação rápida do que isto significa: \mathbf{r}'(x) dá a direção e a taxa de variação da posição quando x muda; a componente 1 vem de dx/dx=1 e a componente f'(x) vem de dy/dx=f'(x).

Passo 3

Derivação do elemento de comprimento ds. Pense num pequeno incremento \Delta x. O deslocamento correspondente na curva é aproximadamente o vetor
\Delta \mathbf{r}\approx(\Delta x,\;\Delta y)=(\Delta x,\;f(x+\Delta x)-f(x)).
O comprimento desse pequeno segmento é, por Pitágoras,
\Delta s\approx\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\Delta x\sqrt{1+\Bigl(\frac{\Delta y}{\Delta x}\Bigr)^2}.
Ao passar ao limite \Delta x\to0, \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(x), portanto o diferencial de comprimento é
ds=\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\;dx.
Essa é a fórmula básica que relaciona o elemento de comprimento ao derivado da função do gráfico. Intuição: a raiz mede a inclinação local da curva (se a curva é mais inclinada, o fator é maior e o comprimento do pequeno trecho cresce).

Passo 4

Comprimento de arco. A definição de comprimento de arco L é a integral do elemento de comprimento ao longo da curva. Usando o resultado do passo anterior,
L=\int_C ds=\int_a^b \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\;dx.
Comentário prático: para calcular, derivamos f, montamos \sqrt{1+f'(x)^2} e integramos de a a b. Exemplo rápido (para fixar): se f(x)=x^2 em [0,1], então f'(x)=2x e
L=\int_0^1\sqrt{1+(2x)^2}\;dx=\int_0^1\sqrt{1+4x^2}\;dx,
que é uma integral que pode ser resolvida por substituição trigonométrica ou reconhecida como integral elíptica dependendo do caso.

Passo 5

Integral de linha de uma função escalar (função de duas variáveis) sobre a curva. Seja \varphi(x,y) uma função escalar definida na vizinhança da curva. A integral de linha de \varphi com respeito ao comprimento (às vezes chamada integral de massa ou integral escalar sobre a curva) é
\int_C \varphi(x,y)\;ds.
Substituindo a parametrização e o elemento ds obtemos a fórmula prática:
\int_C \varphi(x,y)\;ds=\int_a^b \varphi\bigl(x,f(x)\bigr)\,\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\;dx.
Explicação: \varphi\bigl(x,f(x)\bigr) é o valor da função escalar em cada ponto da curva, e multiplicamos pelo comprimento infinitesimal ds e somamos (integramos) ao longo de a até b. Observação útil: se \varphi\equiv 1 então essa integral retorna o comprimento de arco do passo anterior.

Passo 6

Integral de linha de campo vetorial no plano. Seja um campo vetorial no plano dado por \mathbf{F}(x,y)=\bigl(P(x,y),\;Q(x,y)\bigr). A integral de linha do campo vetorial ao longo de C (também interpretada como trabalho de uma força \mathbf{F} ao mover uma partícula ao longo de C) é definida por
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Com a parametrização \mathbf{r}(x)=(x,f(x)) temos d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(x)\,dx=(1,f'(x))\,dx. Assim,
\mathbf{F}\bigl(x,f(x)\bigr)\cdot d\mathbf{r} = \bigl(P(x,f(x)),\;Q(x,f(x))\bigr)\cdot (1,f'(x))\,dx
= \bigl(P(x,f(x))+Q(x,f(x))\,f'(x)\bigr)\,dx.
Portanto a fórmula prática é
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \Bigl(P\bigl(x,f(x)\bigr)+Q\bigl(x,f(x)\bigr)\,f'(x)\Bigr)\;dx.
Observações importantes e interpretação:
  • Essa fórmula assume orientação natural de C de x=a para x=b. Se a orientação for oposta, a integral troca de sinal.
  • Alternativamente, escrevendo em componentes:
\int_C P\,dx+Q\,dy=\int_a^b P\bigl(x,f(x)\bigr)\,dx + Q\bigl(x,f(x)\bigr)\,f'(x)\,dx,
que é a mesma expressão somada em um único integrando.
  • Intuição física: P\,dx+Q\,dy é a projeção infinitesimal da força sobre o deslocamento; integrando soma-se o trabalho ao longo do caminho.

Passo 7

Condições mínimas e dica prática:
  • Para aplicar as fórmulas é suficiente que f seja diferenciável em [a,b] (para ter f' contínua basta uma hipótese mais forte, mas a maioria dos exercícios assume isso).
  • Se preferir parametrizar por outro parâmetro t (por exemplo x=x(t),y=y(t)), as fórmulas gerais são
ds=\bigl\lVert\mathbf{r}'(t)\bigr\rVert dt,\qquad \int_C \varphi\,ds=\int_{t_1}^{t_2}\varphi\bigl(x(t),y(t)\bigr)\bigl\lVert\mathbf{r}'(t)\bigr\rVert dt,
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\;dt.
No caso do gráfico com t=x essas fórmulas reduzem exatamente às apresentadas nos passos anteriores.

Resposta

\text{Comprimento:}\qquad L=\int_a^b \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\;dx.
\text{Integral de linha (função escalar } \varphi):\qquad \int_C \varphi(x,y)\;ds=\int_a^b \varphi\bigl(x,f(x)\bigr)\,\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\;dx.çã
\text{Integral de linha (campo vetorial } \mathbf{F}=(P,Q)):\qquad \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \Bigl(P\bigl(x,f(x)\bigr)+Q\bigl(x,f(x)\bigr)\,f'(x)\Bigr)\;dx.

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