integral de linha de campo vetorial (no plano),
nos casos onde a curva (plana) é dada pelo gráfico de uma função de uma variável y=f(x).
Dica: parametrize a curva por
\left\{\begin{array}{ccc} x & =x \\\ y & =f(x) \end{array}, a \leq x \leq b\right.
Passo 1
O enunciado pede que eu obtenha fórmulas, nos casos em que a curva é o gráfico de uma função de uma variável y=f(x) com a\le x\le b, para:
o comprimento de arco da curva;
a integral de linha de uma função escalar de duas variáveis ao longo da curva;
a integral de linha de um campo vetorial (no plano) ao longo da curva.
As informações fornecidas que vou usar (peguei do enunciado):
a curva é o conjunto de pontos \{(x,f(x))\} com a\le x\le b;
a parametrização sugerida é
\left\{\begin{array}{l} x = x,\\[4pt] y = f(x), \end{array}\quad a\le x\le b\right.
isto é, o parâmetro é justamente x variando de a até b.]
Passo 2
Parametrização e vetor posição. Vou tratar x como parâmetro (às vezes escrevemos t, aqui usaremos x mesmo). O vetor posição da curva é
\mathbf{r}(x)=\bigl(x,\;f(x)\bigr),\qquad a\le x\le b.
Derivando em relação a x (assumindo que f é diferenciável em [a,b]), obtemos o vetor tangente (derivada)
\mathbf{r}'(x)=\bigl(1,\;f'(x)\bigr).
Explicação rápida do que isto significa: \mathbf{r}'(x) dá a direção e a taxa de variação da posição quando x muda; a componente 1 vem de dx/dx=1 e a componente f'(x) vem de dy/dx=f'(x).
Passo 3
Derivação do elemento de comprimento ds. Pense num pequeno incremento \Delta x. O deslocamento correspondente na curva é aproximadamente o vetor
Ao passar ao limite \Delta x\to0, \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(x), portanto o diferencial de comprimento é
ds=\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\;dx.
Essa é a fórmula básica que relaciona o elemento de comprimento ao derivado da função do gráfico. Intuição: a raiz mede a inclinação local da curva (se a curva é mais inclinada, o fator é maior e o comprimento do pequeno trecho cresce).
Passo 4
Comprimento de arco. A definição de comprimento de arco L é a integral do elemento de comprimento ao longo da curva. Usando o resultado do passo anterior,
Comentário prático: para calcular, derivamos f, montamos \sqrt{1+f'(x)^2} e integramos de a a b. Exemplo rápido (para fixar): se f(x)=x^2 em [0,1], então f'(x)=2x e
que é uma integral que pode ser resolvida por substituição trigonométrica ou reconhecida como integral elíptica dependendo do caso.
Passo 5
Integral de linha de uma função escalar (função de duas variáveis) sobre a curva. Seja \varphi(x,y) uma função escalar definida na vizinhança da curva. A integral de linha de \varphi com respeito ao comprimento (às vezes chamada integral de massa ou integral escalar sobre a curva) é
\int_C \varphi(x,y)\;ds.
Substituindo a parametrização e o elemento ds obtemos a fórmula prática:
Explicação: \varphi\bigl(x,f(x)\bigr) é o valor da função escalar em cada ponto da curva, e multiplicamos pelo comprimento infinitesimal ds e somamos (integramos) ao longo de a até b. Observação útil: se \varphi\equiv 1 então essa integral retorna o comprimento de arco do passo anterior.
Passo 6
Integral de linha de campo vetorial no plano. Seja um campo vetorial no plano dado por \mathbf{F}(x,y)=\bigl(P(x,y),\;Q(x,y)\bigr). A integral de linha do campo vetorial ao longo de C (também interpretada como trabalho de uma força \mathbf{F} ao mover uma partícula ao longo de C) é definida por
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Com a parametrização \mathbf{r}(x)=(x,f(x)) temos d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(x)\,dx=(1,f'(x))\,dx. Assim,
que é a mesma expressão somada em um único integrando.
Intuição física: P\,dx+Q\,dy é a projeção infinitesimal da força sobre o deslocamento; integrando soma-se o trabalho ao longo do caminho.
Passo 7
Condições mínimas e dica prática:
Para aplicar as fórmulas é suficiente que f seja diferenciável em [a,b] (para ter f' contínua basta uma hipótese mais forte, mas a maioria dos exercícios assume isso).
Se preferir parametrizar por outro parâmetro t (por exemplo x=x(t),y=y(t)), as fórmulas gerais são
\text{Integral de linha (função escalar } \varphi):\qquad \int_C \varphi(x,y)\;ds=\int_a^b \varphi\bigl(x,f(x)\bigr)\,\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\;dx.çã
\text{Integral de linha (campo vetorial } \mathbf{F}=(P,Q)):\qquad \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \Bigl(P\bigl(x,f(x)\bigr)+Q\bigl(x,f(x)\bigr)\,f'(x)\Bigr)\;dx.