Questão 2. (1 ponto) Mostre que a série \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n-3} 3^{2-n} converge e obtenha o seu valor.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=0}^{\infty}2^{n-3}3^{2-n}
converge e para encontrar o seu valor.
O conteúdo que vamos usar é o de séries geométricas: reconhecê-la, verificar que |r|<1 e aplicar a fórmula da soma.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral para expor a razão geométrica. Temos
2^{n-3}3^{2-n} =\frac{2^n}{2^3}\cdot\frac{3^2}{3^n} =\frac{9}{8}\,\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^n.
Logo a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}2^{n-3}3^{2-n} =\frac{9}{8}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^n.

Passo 3

Reconhecemos \sum_{n=0}^{\infty}(2/3)^n como uma série geométrica de razão
r=\frac{2}{3}.
Como |r|=2/3<1, a série converge. Para uma série geométrica com termo inicial 1 e razão r, a soma é
\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac{1}{1-r}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^n =\frac{1}{1-\tfrac{2}{3}} =\frac{1}{\tfrac{1}{3}} =3.
Multiplicando pelo fator \tfrac{9}{8}, a soma da série original é
\frac{9}{8}\times 3 =\frac{27}{8}.

Resposta

\frac{27}{8}.

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