Questão 4 - Orifício de chuveiro automático

Um sistema de chuveiro automático (sprinkler Pendente/Upright) possui um orifí d=8 \mathrm{~mm} operando sob uma pressão equivalente a uma altura de coluna de águ Considerando coeficiente de descarga C_{d}=0,65, determine:
(a) A vazão do orifício;
(b) A velocidade de saída do jato.
(c) A pressão da rede de alimentação no ponto de instalação do chuveiro.
(d) O fator K do chuveiro automático.

Passo 1

O enunciado fornece (peguei estes valores diretamente do texto que você mandou):
  • Diâmetro do orifício: d=8\\ \mathrm{mm}.
  • Coeficiente de descarga: C_d=0{,}65.
  • Diz que opera “sob uma pressão equivalente a uma altura de coluna de água”, mas o valor numérico dessa altura h (ou da pressão) NÃO foi informado no enunciado que recebi.
O enunciado pede:
(a) a vazão do orifício;
(b) a velocidade de saída do jato;
(c) a pressão da rede de alimentação no ponto de instalação do chuveiro;
(d) o fator K do chuveiro automático.
Observação importante: como o enunciado não informou a altura de coluna de água h (nem a pressão numérica), NÃO é possível fornecer valores numéricos para (a), (b) e (c). Posso, no entanto, apresentar as fórmulas completas em função de h (ou em função da pressão p), mostrar como calcular passo a passo e calcular numericamente o fator K que, neste caso, não depende de h. Se quiser que eu avalie (a)–(c) numericamente, envie o valor de h (em metros) ou da pressão (em kPa ou Pa).

Passo 2

Calcular a área do orifício a partir do diâmetro.
Fórmula da área de um círculo: A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
Converter d para metros: d=8\\ \mathrm{mm}=0{,}008\\ \mathrm{m}.
Calculemos passo a passo:
d^{2}=(0{,}008)^{2}=0{,}000064=6{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot6{,}4\times10^{-5}}{4}=\pi\cdot1{,}6\times10^{-5}
A\approx5{,}0265\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}
Expliquei aqui cada passo da conta para você poder reproduzir sem calculadora: quadrar o diâmetro, multiplicar por \pi e dividir por 4.

Passo 3

Vazão teórica com coeficiente de descarga — fórmula e explicação física.
Explicação conceitual curta e prática: quando um líquido escoa por um orifício com uma coluna de água de altura h acima do orifício, a velocidade teórica ideal (sem perdas) é dada pela fórmula de Torricelli v_{\text{ideal}}=\sqrt{2gh}. Na prática há efeitos de contração e perdas, por isso usamos um coeficiente de descarga C_d que reduz a vazão real.
A vazão volumétrica real é:
Q=C_d\,A\,\sqrt{2 g h}.
Aqui:
  • Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m^3/s}.
  • C_d é o coeficiente de descarga (adimensional).
  • A é a área do orifício em \mathrm{m^2}.
  • g é a aceleração da gravidade (usar g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • h é a altura da coluna de água em metros que gera a pressão.
Como o enunciado não deu h, a resposta numérica para (a) fica em função de h:
\boxed{Q=C_d\left(\dfrac{\pi d^{2}}{4}\right)\sqrt{2 g h}.}
Se preferir em função da pressão \,p (no ponto do chuveiro), usar p=\rho g h e obter:
\boxed{Q=C_d\,A\sqrt{\dfrac{2p}{\rho}}.}
Aqui \rho é a densidade da água (usar \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}).

Passo 4

Velocidade de saída do jato — fórmula e interpretação.
A velocidade média real de saída (média sobre a seção de jato) é a vazão dividida pela área:
v=\frac{Q}{A}=C_d\sqrt{2 g h}.
Em termos de pressão p:
v=C_d\sqrt{\dfrac{2p}{\rho}}.
Significado das variáveis foi explicado no passo anterior. Nota prática: v cresce com a raiz de h ou de p; sem h não há número final.

Passo 5

Pressão da rede no ponto de instalação — relação entre altura e pressão.
Se o enunciado diz "pressão equivalente a uma altura de coluna de água h", a pressão absoluta (manométrica) no ponto do chuveiro é:
p=\rho g h.
Novamente, sem o valor numérico de h não posso dar p em Pa ou kPa. Para converter em kPa: p_{\text{kPa}}=\dfrac{\rho g h}{1000}.

Passo 6

Definição e cálculo do fator K do chuveiro.
Na prática dos chuveiros automáticos o fator K é definido por uma relação do tipo
Q = K\,\sqrt{p},
onde Q é a vazão e p é a pressão no bocais (atenção às unidades: aqui p em Pa e Q em \mathrm{m^3/s} dá um K em unidades SI compatíveis). A partir da expressão Q=C_d A\sqrt{2 p/\rho} segue:
K=\frac{Q}{\sqrt{p}}=C_d\,A\,\sqrt{\frac{2}{\rho}}.
Observação importante e muito útil: K fica INDEPENDENTE da altura h (ou da pressão numérica), porque ao dividir Q por \sqrt{p} os termos em h (ou p) se cancelam. Assim podemos calcular K numericamente com os dados fornecidos.
Substituindo C_d=0{,}65, A\approx5{,}0265\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}} e \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}:
K=0{,}65\cdot\left(5{,}0265\times10^{-5}\right)\cdot\sqrt{\frac{2}{1000}}.
Calcule passo a passo:
\sqrt{\frac{2}{1000}}=\sqrt{0{,}002}\approx0{,}0447214,
0{,}65\cdot5{,}0265\times10^{-5}\approx3{,}2662\times10^{-5},
K\approx3{,}2662\times10^{-5}\cdot0{,}0447214\approx1{,}46\times10^{-6}.
Unidades no sistema SI: K em \mathrm{m^{3}\,s^{-1}\,Pa^{-1/2}}. Escrevendo com as unidades explicitamente:
\boxed{K\approx1{,}46\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}\,Pa^{-1/2}}.}
Para tornar isso prático (pois em proteção contra incêndio é comum usar Q em \mathrm{L/min} e p em \mathrm{kPa}), convertemos K para unidades \mathrm{L/min\\ /\\ \sqrt{kPa}}.
Conversão rápida:
1\\ \mathrm{m^{3}/s}=60000\\ \mathrm{L/min},\qquad \sqrt{1\\ \mathrm{Pa}}=\sqrt{0{,}001\\ \mathrm{kPa}}=0{,}0316228\\ \sqrt{\mathrm{kPa}}.
Portanto o fator convertido K_{\text{(L/min)/}\sqrt{\mathrm{kPa}}} é:
K' = K\cdot60000\cdot31{,}6228 \approx K\cdot1{,}897{,}366.
Com K\approx1{,}46\times10^{-6} isso dá
K'\approx2{,}77\\ \mathrm{L/min\\ /\\ \sqrt{kPa}}.

Passo 7

Resumo prático de como resolver na prova (sem esquecer nada):
  • Calcule A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
  • Se receber h: use Q=C_d A\sqrt{2 g h} e v=C_d\sqrt{2 g h}. Use p=\rho g h se pedirem pressão.
  • Se receber a pressão p: use Q=C_d A\sqrt{2p/\rho} e v=C_d\sqrt{2p/\rho}.
  • Para o fator K calcule K=C_d A\sqrt{2/\rho}; esse valor é numérico e não precisa de h.
Força — você já tem as fórmulas prontas e o K numérico. Se me passar a altura h (em metros) ou a pressão p (em kPa ou Pa) eu calculo imediatamente os valores numéricos de (a), (b) e (c) para você.

Resposta

(a) Q=C_d\left(\dfrac{\pi d^{2}}{4}\right)\sqrt{2 g h} \quad (com d=0{,}008\\ \mathrm{m}, C_d=0{,}65; valor numérico depende de h e não pode ser calculado sem ele)
(b) v=C_d\sqrt{2 g h} \quad (valor numérico depende de h)
(c) p=\rho g h \quad (valor numérico depende de h)
(d) K=C_d A\sqrt{\dfrac{2}{\rho}}\approx1{,}46\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}\,Pa^{-1/2}}\approx2{,}77\\ \mathrm{L/min\\ /\\ \sqrt{kPa}}

Exercícios relacionados