Um elétron está aprisionado em um poço infinito unidimensional, a energia do estado fundamental é
. Qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido por uma transição entre dois estados deste poço?
Resposta:
Escolher…
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: a energia do estado fundamental do elétron no poço infinito unidimensional é
. - Informação: consideramos transições entre estados ligados desse poço (emissão de fóton quando o elétron cai de um nível mais alto para um mais baixo).
- Pergunta: qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido por uma transição entre dois estados deste poço?
Passo 2
Entender a fórmula dos níveis de energia do poço infinito (a parte que você precisa para a prova).
- Para um elétron num poço infinito unidimensional de comprimento
, os níveis de energia são
onde:
-
é um inteiro positivo ( ), -
é a constante de Planck ( ), -
é a massa do elétron ( ), -
é o comprimento do poço (fixo para o problema). -
A partir da expressão acima, o nível fundamental é
. Logo qualquer nível pode ser escrito como
Expliquei isso para você: aqui
é simplesmente a constante que escala todos os níveis, e o fator
vem das condições de contorno do poço (ondas estacionárias).
Passo 3
Energia do fóton emitido numa transição e como obter o maior comprimento de onda.
- Se o elétron faz uma transição de um nível inicial
para um nível final com , a energia do fóton emitido é
- A relação entre energia do fóton e comprimento de onda é
onde
é a velocidade da luz. Portanto, para obter o maior comprimento de onda
possível devemos minimizar
(já que
é inversamente proporcional a
).
Passo 4
Encontrar o menor
possível entre níveis distintos.
- Note que
. Para inteiros positivos com temos e (o caso mínimo ocorre para e ). - O menor produto ocorre quando
e é o menor possível, ou seja . Assim o menor valor de é
- Logo a menor energia de fóton emitido (e portanto a que dá o maior comprimento de onda) é
Passo 5
Calcular numericamente
usando
.
Passo 6
Converter energia em comprimento de onda.
- Usamos
. - Uma prática comum e útil na prova é usar
em unidades . Calculando ou lembrando, temos aproximadamente
(Se quiser validar:
e convertendo joule para eV e metro para nm dá cerca de
.)
- Assim
Passo 7
Fazer a divisão e dar a resposta final numérica com casas significativas razoáveis.