Um elétron está aprisionado em um poço infinito unidimensional, a energia do estado fundamental é 12,5 \mathrm{eV}. Qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido por uma transição entre dois estados deste poço?
Resposta: \square Escolher… \stackrel{*}{=}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: a energia do estado fundamental do elétron no poço infinito unidimensional é \displaystyle E_{1}=12,5\\ \mathrm{eV}.
  • Informação: consideramos transições entre estados ligados desse poço (emissão de fóton quando o elétron cai de um nível mais alto para um mais baixo).
  • Pergunta: qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido por uma transição entre dois estados deste poço?

Passo 2

Entender a fórmula dos níveis de energia do poço infinito (a parte que você precisa para a prova).
  • Para um elétron num poço infinito unidimensional de comprimento L, os níveis de energia são
E_{n}=\frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}},
onde:
  • \displaystyle n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots),
  • \displaystyle h é a constante de Planck ( h\approx 6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}),
  • \displaystyle m é a massa do elétron ( m\approx 9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}),
  • \displaystyle L é o comprimento do poço (fixo para o problema).
  • A partir da expressão acima, o nível fundamental é E_{1}=\dfrac{h^{2}}{8mL^{2}}. Logo qualquer nível pode ser escrito como
E_{n}=n^{2}E_{1}.
Expliquei isso para você: aqui E_{1} é simplesmente a constante que escala todos os níveis, e o fator n^{2} vem das condições de contorno do poço (ondas estacionárias).

Passo 3

Energia do fóton emitido numa transição e como obter o maior comprimento de onda.
  • Se o elétron faz uma transição de um nível inicial n_{i} para um nível final n_{f} com n_{i}>n_{f}, a energia do fóton emitido é
\Delta E = E_{n_{i}}-E_{n_{f}}=(n_{i}^{2}-n_{f}^{2})E_{1}.
  • A relação entre energia do fóton e comprimento de onda é
\lambda=\frac{hc}{\Delta E},
onde \displaystyle c é a velocidade da luz. Portanto, para obter o maior comprimento de onda \lambda possível devemos minimizar \Delta E (já que \lambda é inversamente proporcional a \Delta E).

Passo 4

Encontrar o menor \Delta E possível entre níveis distintos.
  • Note que n_{i}^{2}-n_{f}^{2}=(n_{i}-n_{f})(n_{i}+n_{f}). Para inteiros positivos com n_{i}>n_{f} temos (n_{i}-n_{f})\ge 1 e (n_{i}+n_{f})\ge 3 (o caso mínimo ocorre para n_{f}=1 e n_{i}=2).
  • O menor produto ocorre quando n_{i}-n_{f}=1 e n_{f} é o menor possível, ou seja n_{f}=1. Assim o menor valor de n_{i}^{2}-n_{f}^{2} é
2^{2}-1^{2}=4-1=3.
  • Logo a menor energia de fóton emitido (e portanto a que dá o maior comprimento de onda) é
\Delta E_{\min}=3E_{1}.

Passo 5

Calcular numericamente \Delta E_{\min} usando E_{1}=12{,}5\\ \mathrm{eV}.
\Delta E_{\min}=3E_{1}=3\times 12{,}5\\ \mathrm{eV}=37{,}5\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Converter energia em comprimento de onda.
  • Usamos \displaystyle \lambda_{\max}=\dfrac{hc}{\Delta E_{\min}}.
  • Uma prática comum e útil na prova é usar hc em unidades \mathrm{eV\cdot nm}. Calculando ou lembrando, temos aproximadamente
hc\approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
(Se quiser validar: hc=(6{,}626\times10^{-34})(2{,}998\times10^{8})\\ \mathrm{J\cdot m} e convertendo joule para eV e metro para nm dá cerca de 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.)
  • Assim
\lambda_{\max}=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{37{,}5\\ \mathrm{eV}}.

Passo 7

Fazer a divisão e dar a resposta final numérica com casas significativas razoáveis.
\lambda_{\max}=\frac{1240}{37{,}5}\\ \mathrm{nm}\approx 33{,}07\\ \mathrm{nm}.

Resposta

33{,}07\\ \mathrm{nm}

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