Questão 5 |
Considere um átomo de Hidrogênio (
) de massa reduzida
, a função radial deste elétron,
quando
(valor máximo permitido de
) é dad por
. Para o caso em que
, qual é o valor do raio médio em unidades de
para este elétron? [Não é necessário apresentar a unidade
na resposta, mas apenas o valor numérico.]
Dica: Lembre-se que a integral
Passo 1
O enunciado dá a função radial do elétron em um átomo de Hidrogênio para
:
Pede-se o raio médio (valor esperado de
) para
, em unidades de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função radial
está normalizada (assumimos a forma dada como normalizada). - A dica:
.
O que precisamos calcular: o valor depara .
Passo 2
Entendendo o que é o raio médio e como calculá-lo.
A densidade de probabilidade radial (a probabilidade de encontrar o elétron entre e
) é
A densidade de probabilidade radial (a probabilidade de encontrar o elétron entre
Portanto o valor esperado de
é
Explicando de forma simples: multiplicamos
pela probabilidade de estar em cada casca esférica de espessura
, que é
.
Passo 3
Substituímos a forma dada de
. Primeiro calculamos
:
Expliquei: ao quadrar, o fator exponencial fica com expoente
, e o prefator com potência
; o
ao quadrar vira
.
Passo 4
Agora montamos a integral para
:
Observe que a potência de
na integral é
.
Passo 5
Aplicamos a dica da integral. Identificamos no integrando
com
e o expoente
. Assim, usando
obtemos
Passo 6
Substituímos esse resultado em
:
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro o fator de potências:
porque os expoentes diferem em
. Em seguida o fator factorial:
Portanto
Passo 7
Agora substituímos
:
Como pediram o valor numérico em unidades de
, o resultado é
.
Resposta
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