Questão 5 |
Considere um átomo de Hidrogênio ( \mathrm{Z}=1 ) de massa reduzida \mu, a função radial deste elétron, R_{n, l}(r) quando l=n-1 (valor máximo permitido de l ) é dad por R_{n, n-1}(r)=\left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{\frac{(2 n+1)}{2}} \frac{1}{\sqrt{(2 n)!}} r^{n-1} e^{-r / n a_{0}}. Para o caso em que n=6, qual é o valor do raio médio em unidades de a_{0} para este elétron? [Não é necessário apresentar a unidade a_{0} na resposta, mas apenas o valor numérico.]
Dica: Lembre-se que a integral \int_{0}^{+\infty} r^{m} e^{-r / \alpha} d r=m!\alpha^{m+1}

Passo 1

O enunciado dá a função radial do elétron em um átomo de Hidrogênio para l=n-1:
R_{n,n-1}(r)=\left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{\frac{2n+1}{2}}\frac{1}{\sqrt{(2n)!}}\,r^{\,n-1}e^{-r/(n a_{0})}.
Pede-se o raio médio (valor esperado de r) para n=6, em unidades de a_{0}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função radial R_{n,n-1}(r) está normalizada (assumimos a forma dada como normalizada).
  • A dica: \displaystyle \int_{0}^{\infty} r^{m}e^{-r/\alpha}\,dr = m!\,\alpha^{m+1}.
    O que precisamos calcular: o valor de \langle r\rangle para n=6.

Passo 2

Entendendo o que é o raio médio e como calculá-lo.
A densidade de probabilidade radial (a probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+dr) é
P(r)\,dr = |R_{n,l}(r)|^{2}\,r^{2}\,dr.
Portanto o valor esperado de r é
\langle r\rangle = \int_{0}^{\infty} r\,P(r)\,dr = \int_{0}^{\infty} r\,|R_{n,l}(r)|^{2}r^{2}\,dr = \int_{0}^{\infty} |R_{n,l}(r)|^{2} r^{3}\,dr.
Explicando de forma simples: multiplicamos r pela probabilidade de estar em cada casca esférica de espessura dr, que é |R|^{2}r^{2}dr.

Passo 3

Substituímos a forma dada de R_{n,n-1}(r). Primeiro calculamos |R_{n,n-1}(r)|^{2}:
|R_{n,n-1}(r)|^{2} = \left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{2n+1}\frac{1}{(2n)!}\; r^{2n-2} e^{-2r/(n a_{0})}.
Expliquei: ao quadrar, o fator exponencial fica com expoente -2r/(n a_{0}), e o prefator com potência 2n+1; o \sqrt{(2n)!} ao quadrar vira (2n)!.

Passo 4

Agora montamos a integral para \langle r\rangle:
\langle r\rangle = \int_{0}^{\infty} |R_{n,n-1}(r)|^{2} r^{3}\,dr = \left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{2n+1}\frac{1}{(2n)!}\int_{0}^{\infty} r^{2n+1} e^{-2r/(n a_{0})}\,dr.
Observe que a potência de r na integral é 2n-2+3=2n+1.

Passo 5

Aplicamos a dica da integral. Identificamos no integrando e^{-2r/(n a_{0})}=e^{-r/\alpha} com
\alpha=\frac{n a_{0}}{2}
e o expoente m=2n+1. Assim, usando
\int_{0}^{\infty} r^{m} e^{-r/\alpha}\,dr = m!\,\alpha^{m+1},
obtemos
\int_{0}^{\infty} r^{2n+1} e^{-2r/(n a_{0})}\,dr = (2n+1)!\left(\frac{n a_{0}}{2}\right)^{2n+2}.

Passo 6

Substituímos esse resultado em \langle r\rangle:
\langle r\rangle = \left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{2n+1}\frac{1}{(2n)!}\,(2n+1)!\left(\frac{n a_{0}}{2}\right)^{2n+2}.
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro o fator de potências:
\left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{2n+1}\left(\frac{n a_{0}}{2}\right)^{2n+2} = \left(\frac{n a_{0}}{2}\right)^{1} = \frac{n a_{0}}{2},
porque os expoentes diferem em 1. Em seguida o fator factorial:
\frac{(2n+1)!}{(2n)!} = 2n+1.
Portanto
\langle r\rangle = \frac{n a_{0}}{2}\,(2n+1).

Passo 7

Agora substituímos n=6:
\langle r\rangle = \frac{6}{2}\,(2\cdot 6 + 1)\,a_{0} = 3\cdot 13\,a_{0} = 39\,a_{0}.
Como pediram o valor numérico em unidades de a_{0}, o resultado é 39.

Resposta

39

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