5.12 Uma bomba transfere água entre dois reservatórios mantidos no mesmo nível, altura geométrica nula. O eixo da bomba está situado 1,83 \mathrm{~m} acima do
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Hidráulica Básica Cap. 5
nível d’água de ambos os reservatórios. Para uma rotação de 1200 rpm , a vazão descarregada é de 6,82 \mathrm{l} / \mathrm{s} e as perdas de carga totais na sucção e no recalque valem, respectivamente, 2,44 \mathrm{~m} e 9,15 \mathrm{~m}. Até que valores podem chegar a rotação da bomba e a vazão recalcada, sem ocorrer cavitação, se o coeficiente de cavitação crítico vale \sigma_{\mathrm{c}}=0,045 ? Assuma que a bomba trabalha com um rendimento máximo constante e que a pressão atmosférica e a pressão de vapor da água correspondem, respectivamente, a 10,33 \mathrm{mH}_{2} \mathrm{O} e 0,26 \mathrm{mH}_{2} \mathrm{O}. Que tipo de bomba é recomendado para este trabalho? Utilize uma equação de resistência, para o cálculo das perdas de carga, na forma, \Delta H= const \cdot Q^{2}.
\left[Q=0,0114 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ; \mathrm{n}_{2}=2000,6 \mathrm{rpm} ; \mathrm{N}_{\mathrm{s}}=57,6\right. (centrífuga lenta) ]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • A bomba tem o eixo situado 1,83\\ \mathrm{m} acima do nível d’água dos reservatórios.
  • Rotação inicial: n_{1}=1200\\ \mathrm{rpm}.
  • Vazão medida nessa rotação: Q_{1}=6{,}82\\ \mathrm{L/s} = 0{,}00682\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Perdas de carga totais na sucção (para essa vazão): \Delta H_{\text{suc}}=2{,}44\\ \mathrm{m}.
  • Perdas de carga totais no recalque (para essa vazão): \Delta H_{\text{rec}}=9{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Pressão atmosférica expressa em cabeça de água: p_{a}/(\rho g)=10{,}33\\ \mathrm{mH_{2}O}.
  • Pressão de vapor da água: p_{v}/(\rho g)=0{,}26\\ \mathrm{mH_{2}O}.
  • Coeficiente crítico de cavitação: \sigma_{c}=0{,}045.
  • Suposição dada no enunciado: perdas de carga seguem \Delta H = \text{const}\cdot Q^{2}. A bomba trabalha com rendimento máximo constante.
O que o enunciado pede:
  1. Calcular até que rotação máxima n_{2} a bomba pode chegar sem ocorrer cavitação.
  2. Calcular a vazão recalcada máxima Q_{2} correspondente a essa rotação.
  3. Indicar que tipo de bomba é recomendado para este trabalho.
Observações iniciais (sem resolver ainda):
  • Como os reservatórios estão ao mesmo nível, não há diferença de carga estática entre sucção e recalque (diferença de elevação = 0).
  • A cabeça que a bomba precisa entregar para vencer as perdas é a soma das perdas aos dois lados, para a vazão de cada operação.
  • A cavitação é prevenida se a razão entre a NPSH disponível ( NPSH_a, em metros) e a altura manométrica da bomba H for maior ou igual a \sigma_c. Isto é, a condição para não cavitar é \dfrac{NPSH_a}{H}\ge\sigma_c.

Passo 2

Calcular a carga (altura) que a bomba está entregando no ponto de funcionamento inicial e obter a constante das perdas do sistema.
  1. Altura total entregue pela bomba no ponto conhecido (rotação n_{1}, vazão Q_{1}) é a soma das perdas de sucção e recalque (não há desnível estático entre reservatórios):
H_{1}=\Delta H_{\text{suc}}+\Delta H_{\text{rec}}=2{,}44+9{,}15=11{,}59\\ \mathrm{m}.
  1. Como as perdas seguem \Delta H = k Q^{2} (constante k do sistema), determine k usando H_{1} e Q_{1}:
k=\frac{H_{1}}{Q_{1}^{2}}=\frac{11{,}59}{(0{,}00682)^{2}}.
Calculemos:
Q_{1}^{2}=(0{,}00682)^{2}=0{,}0000465124\\ \mathrm{(m^{3}/s)^{2}},
k=\frac{11{,}59}{0{,}0000465124}\approx 249\,292\\ \mathrm{m/(m^{6}/s^{2})}.
Explicação rápida do que fiz aqui: k é apenas um número tal que, para qualquer vazão Q, a perda total do sistema será H_{\text{sys}}(Q)=k Q^{2}. Encontrei k a partir do ponto conhecido (Q_{1},H_{1}).

Passo 3

Calcular o NPSH_{a} (NPSH disponível) do sistema, em metros de coluna de água.
Conceito/recap:
  • NPSH_{a} é a altura absoluta de pressão na entrada da bomba, expressa em metros de água, acima da pressão de vapor. Em palavras: é a pressão disponível no olho da bomba, convertida para metros, menos a cabeça de vapor. Se NPSH_{a} for menor que a NPSH requerida, ocorre cavitação.
  • Para o caso aqui (superfícies livres expostas à pressão atmosférica), a pressão absoluta no interior da tubulação em frente ao olho da bomba, expressa em metros de coluna de água, é:
\frac{p_{a}}{\rho g} - (\text{diferença de elevação desde a superfície livre até o eixo da bomba}) - (\text{perdas na sucção}).ççãíéçã
Então
NPSH_{a} = \frac{p_{a}}{\rho g} - h_{\text{elevação}} - \Delta H_{\text{suc}} - \frac{p_{v}}{\rho g}.çã
Aplicando números (peguei os dados do enunciado):
  • \dfrac{p_{a}}{\rho g}=10{,}33\\ \mathrm{m}.
  • A superfície livre está 1{,}83\\ \mathrm{m} abaixo do eixo da bomba, então a pressão hidroestática no eixo devido à coluna d’água é reduzida em 1{,}83\\ \mathrm{m}.
  • \Delta H_{\text{suc}}=2{,}44\\ \mathrm{m}.
  • \dfrac{p_{v}}{\rho g}=0{,}26\\ \mathrm{m}.
Portanto
NPSH_{a}=10{,}33 - 1{,}83 - 2{,}44 - 0{,}26.
Calculando:
NPSH_{a}=10{,}33 - 4{,}53 = 5{,}80\\ \mathrm{m}.
Interpretação: há 5{,}80\\ \mathrm{m} de margem de pressão líquida acima da pressão de vapor no olho da bomba. Esse é o numerador da definição do coeficiente de cavitação adimensional que vamos usar.

Passo 4

Relação entre coeficiente de cavitação \sigma, NPSH_{a} e a altura manométrica da bomba H; obter a altura máxima admissível H_{\max} sem cavitação.
Conceito:
  • O coeficiente de cavitação adimensional usado aqui é definido por
\sigma=\frac{NPSH_{a}}{H},
onde H é a altura manométrica (m) entregue pela bomba no ponto de operação. Para não ocorrer cavitação, exige-se \sigma\ge\sigma_{c}, ou seja H\le \dfrac{NPSH_{a}}{\sigma_{c}}.
Logo a altura máxima admissível sem cavitação é
H_{\max}=\frac{NPSH_{a}}{\sigma_{c}}=\frac{5{,}80}{0{,}045}.
Calculando:
H_{\max}\approx 128{,}888\\ \mathrm{m}\\ \text{(aprox.)}.
Comentário: esse é o valor máximo de cabeça que a bomba pode entregar sem que o coeficiente de cavitação caia abaixo do crítico e, portanto, sem cavitação.

Passo 5

Usar as leis de afinidade para bomba e a forma das perdas do sistema para relacionar rotação e vazão e encontrar n_{2} e Q_{2} correspondentes a H_{\max}.
Conceito das leis de afinidade (explicação didática):
  • Para uma bomba geometricamente semelhante operando em diferentes rotações, valem, em regime dinâmico parecido, as leis de afinidade:
    • Q (vazão) escala linearmente com a rotação: Q\propto n.
    • H (altura manométrica) escala com o quadrado da rotação: H\propto n^{2}.
    • Potência hidráulica escala com o cubo da rotação: P\propto n^{3}.
  • Aqui assumimos que a bomba mantém a mesma curva adimensional (mesma forma) ao variar n e que o rendimento permanece constante (hipótese do enunciado). Também o sistema tem perda H_{\text{sys}}=k Q^{2}. Estas hipóteses permitem que, ao variar n, a razão Q/n seja constante para o ponto de operação (veja nota explicativa abaixo).
Nota explicativa sobre por que Q escala com n para interseção bomba-sistema: escrevendo a característica da bomba como H_{\text{bomba}}(Q,n)=n^{2}\,\tilde{H}(Q/n) (forma geral da semelhança), e equacionando com o sistema H_{\text{bomba}}=k Q^{2}, obtemos n^{2}\tilde{H}(Q/n)=k Q^{2}. Definindo x=Q/n isso dá \tilde{H}(x)=k x^{2}, que é uma equação para x independente de n. Portanto Q/n é fixo e assim Q\propto n. Logo H\propto n^{2} no ponto de operação.
Aplicando as leis de afinidade entre o estado conhecido (índice 1) e o estado desejado (índice 2):
\frac{Q_{2}}{Q_{1}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}, \qquad \frac{H_{2}}{H_{1}}=\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right)^{2}.
Queremos H_{2}=H_{\max}. Assim:
\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right)^{2}=\frac{H_{\max}}{H_{1}} \quad\Rightarrow\quad n_{2}=n_{1}\sqrt{\frac{H_{\max}}{H_{1}}}.
Substituindo números (peguei H_{\max} do passo anterior e H_{1}=11{,}59\\ \mathrm{m}):
n_{2}=1200\cdot\sqrt{\frac{128{,}888}{11{,}59}}.
Calculemos a razão:
\frac{128{,}888}{11{,}59}\approx 11{,}1178, \qquad \sqrt{11{,}1178}\approx 3{,}3333.
Logo
n_{2}\approx 1200\cdot 3{,}3333 \approx 4000\\ \mathrm{rpm}.
Então a rotação máxima sem cavitação é cerca de 4000\\ \mathrm{rpm}.
Agora a vazão correspondente Q_{2} usando Q_{2}=Q_{1}\dfrac{n_{2}}{n_{1}}:
Q_{2}=0{,}00682\cdot\frac{4000}{1200}=0{,}00682\cdot 3{,}3333\approx 0{,}02273\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Em litros por segundo:
Q_{2}\approx 22{,}73\\ \mathrm{L/s}.
Verificação rápida (consistência): a altura no ponto 2 será
H_{2}=H_{1}\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right)^{2}=11{,}59\cdot(3{,}3333)^{2}=11{,}59\cdot 11{,}111\approx 128{,}89\\ \mathrm{m},
o que coincide com H_{\max} e garante \sigma=NPSH_{a}/H_{2}=5{,}80/128{,}89\approx 0{,}045=\sigma_{c} (caso limite, sem cavitação).

Passo 6

Interpretação física, comentários práticos e classificação do tipo de bomba recomendada.
  1. Interpretação:
  • O cálculo mostrou que, em teoria, a bomba poderia girar até cerca de 4000\\ \mathrm{rpm} e fornecer cerca de 22{,}7\\ \mathrm{L/s} sem que a condição adimensional de cavitação seja violada (isto é, no limite \sigma=\sigma_{c}). Esse é um limite imposto pela disponibilidade de pressão na sucção ( NPSH_a ) e pelo critério \sigma_{c}.
  • Na prática, rotações muito acima da nominal podem causar problemas mecânicos e de eficiência, então normalmente não se opera no limite estrito de cavitação; deixa-se uma margem de segurança.
  1. Tipo de bomba:
  • Para esta operação (vazão relativamente grande e altura moderada no ponto de operação inicial, mas altura muito grande no limite de cavitação), o enunciado sugere e a prática indica uma bomba centrífuga. Mais especificamente, considerando que o enunciado e referências falam em “centrífuga lenta” e que a relação característica aqui implica baixo número específico (bombas de passo maior e rotações menores para grandes alturas em relação à vazão), a recomendação é uma bomba centrífuga do tipo de baixo número específico — isto é, uma centrífuga lenta, própria para aplicações com essas características hidráulicas.
  • Justificativa simples: bombas centrífugas são apropriadas para transportar água entre reservatórios; a classificação “lenta” (ou baixo número específico) é adequada quando se deseja entregar cabeças relativamente altas para vazões da ordem que aparecem aqui, e quando há preocupação com cavitação (bombas lentas tendem a ter melhor comportamento de NPSH requerido).

Resposta

n_{2}\approx 4000\\ \mathrm{rpm}
Q_{2}\approx 0{,}02273\\ \mathrm{m^{3}/s} (ou 22{,}73\\ \mathrm{L/s})
Bomba recomendada: centrífuga lenta (baixa velocidade específica, adequada para este serviço)

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