QUESTÃO 4 (2,0 p pontos) Resolver as seguintes questões
Seja T: R^3 R^2 ; T(x, y, z)=(a x+y, a z) e S: R^2 R^3 ; S(x, y)=(x,(1-a) x, a^-1 y). Verifique se S é ou não inversa a direita de T; verifique sua resposta matricialmente. 1 p

Passo 1

O enunciado dá as transformações lineares
Tcolon R^3 to R^2,
T(x,y,z) = (a x + y,; a z),
e
Scolon R^2 to R^3,
S(x,y) = l(x,;(1-a)x,;a^-1yr)
Queremos verificar se S é inversa à direita de T, ou seja, se
Tcirc S = IdR^2
Note que para S estar bem-definida precisamos de aneq 0.

Passo 2

Representamos T e S pelas matrizes, nas bases canônicas, assim:
[T] = a & 1 & 0 0 & 0 & a , [S] = 1 & 0 1 - a & 0 0 & a^-1
Aqui cada coluna de [T] é T aplicado a um vetor canônico de R^3, e cada coluna de [S] é S aplicado a um vetor canônico de R^2.

Passo 3

Agora calculamos o produto [T][S] (uma matriz 2times3 vezes uma 3times2), cuja entrada (i,j) é a soma dos produtos linha i de [T] pela coluna j de [S]:
[T][S] = a & 1 & 0 0 & 0 & a 1 & 0 1 - a & 0 0 & a^-1 = acdot1 + 1cdot(1-a) + 0cdot0 & acdot0 + 1cdot0 + 0cdot a^-1[6pt] 0cdot1 + 0cdot(1-a) + acdot0 & 0cdot0 + 0cdot0 + acdot a^-1 = 1 & 0 0 & 1 ]

Passo 4

Como [T][S]=I2, temos Tcirc S = IdR^2. Logo S é inversa à direita de T (desde que aneq 0, condição para S existir).

Resposta

S é inversa à direita de T, pois matricialmente [T][S]=I2.

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