Questáo 3(3,3 p). Sejam \mathrm{A}=(-1,0,1), \mathrm{B}=(0,-1,2) e \mathrm{C}=(2,1,0) em \mathbb{R}^{3}.
(a) Determine a equação geral do plano que contém os pontos A, B, C.
(b) Ache a área do triângulo de vértices \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}.
Passo 1
O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3:
A = (-1,0,1),\qquad B=(0,-1,2),\qquad C=(2,1,0).
Pede duas coisas:
(a) a equação geral do plano que contém A,B,C;
(b) a área do triângulo com vértices A,B,C.
Passo 2
Primeiro precisamos de vetores diretores do plano: pego os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} (subtração coordenada a coordenada).
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-(-1),\,-1-0,\,2-1) = (1,-1,1),
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-(-1),\,1-0,\,0-1) = (3,1,-1).
Esses dois vetores pertencem ao plano porque ligam A a B e A a C.
Passo 3
Para achar a equação do plano precisamos de um vetor normal \mathbf{n} (perpendicular ao plano). O produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} fornece esse normal. Vou lembrar e usar a fórmula do produto vetorial em \mathbb{R}^3:
Se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) então
Esse é um vetor normal ao plano. Podemos simplificá‑lo dividindo por 4 para obter um normal mais simples: \mathbf{n}=(0,1,1). (Qualquer múltiplo de um normal também é normal.)]
Passo 4
A equação do plano com vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui usamos \mathbf{n}=(0,1,1) e o ponto A=(-1,0,1). Substituindo:
0\cdot(x-(-1)) + 1\cdot(y-0) + 1\cdot(z-1) = 0.
Isso simplifica para
y + z - 1 = 0.
Essa é a equação em forma geral do plano; em forma padrão 0x + 1y + 1z -1 = 0.
Passo 5
Faço uma checagem rápida: a equação deve ser satisfeita por B e C.
Para B=(0,-1,2): y+z-1 = -1 + 2 -1 = 0. OK.
Para C=(2,1,0): y+z-1 = 1 + 0 -1 = 0. OK.
Logo a equação está correta.
Passo 6
Agora a área do triângulo com vértices A,B,C. Lembre do fato geométrico importante:
O módulo do produto vetorial \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.