Questáo 3(3,3 p). Sejam \mathrm{A}=(-1,0,1), \mathrm{B}=(0,-1,2) e \mathrm{C}=(2,1,0) em \mathbb{R}^{3}.
(a) Determine a equação geral do plano que contém os pontos A, B, C.
(b) Ache a área do triângulo de vértices \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3:
A = (-1,0,1),\qquad B=(0,-1,2),\qquad C=(2,1,0).
Pede duas coisas:
(a) a equação geral do plano que contém A,B,C;
(b) a área do triângulo com vértices A,B,C.

Passo 2

Primeiro precisamos de vetores diretores do plano: pego os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} (subtração coordenada a coordenada).
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-(-1),\,-1-0,\,2-1) = (1,-1,1),
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-(-1),\,1-0,\,0-1) = (3,1,-1).
Esses dois vetores pertencem ao plano porque ligam A a B e A a C.

Passo 3

Para achar a equação do plano precisamos de um vetor normal \mathbf{n} (perpendicular ao plano). O produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} fornece esse normal. Vou lembrar e usar a fórmula do produto vetorial em \mathbb{R}^3:
Se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) então
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \bigl(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Aqui \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores canônicos; o resultado é um vetor orthogonal a \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Aplicando a fórmula a \overrightarrow{AB}=(1,-1,1) e \overrightarrow{AC}=(3,1,-1):
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \bigl((-1)(-1)-1\cdot 1,\; 1\cdot 3 - 1\cdot(-1),\; 1\cdot 1 - (-1)\cdot 3\bigr).
Calculo cada componente:
\text{1ª componente} = (-1)(-1)-1\cdot 1 = 1-1 = 0,ª
\text{2ª componente} = 1\cdot 3 - 1\cdot(-1) = 3+1 = 4,ª
\text{3ª componente} = 1\cdot 1 - (-1)\cdot 3 = 1+3 = 4.ª
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (0,4,4).
Esse é um vetor normal ao plano. Podemos simplificá‑lo dividindo por 4 para obter um normal mais simples: \mathbf{n}=(0,1,1). (Qualquer múltiplo de um normal também é normal.)]

Passo 4

A equação do plano com vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui usamos \mathbf{n}=(0,1,1) e o ponto A=(-1,0,1). Substituindo:
0\cdot(x-(-1)) + 1\cdot(y-0) + 1\cdot(z-1) = 0.
Isso simplifica para
y + z - 1 = 0.
Essa é a equação em forma geral do plano; em forma padrão 0x + 1y + 1z -1 = 0.

Passo 5

Faço uma checagem rápida: a equação deve ser satisfeita por B e C.
Para B=(0,-1,2): y+z-1 = -1 + 2 -1 = 0. OK.
Para C=(2,1,0): y+z-1 = 1 + 0 -1 = 0. OK.
Logo a equação está correta.

Passo 6

Agora a área do triângulo com vértices A,B,C. Lembre do fato geométrico importante:
  • O módulo do produto vetorial \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
  • Portanto a área do triângulo ABC é metade disso:
\text{Área}(\triangle ABC) = \tfrac{1}{2}\,\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\|.Á
Já calculamos \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,4,4). O módulo (norma Euclidiana) desse vetor é
\bigl\|(0,4,4)\bigr\| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.
Logo a área do triângulo é
\text{Área}(\triangle ABC) = \tfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}.Á

Resposta

(a) y+z-1=0
(b) \;2\sqrt{2}

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