Questão: Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
Enunciado e dados: calcular a derivada da função
O que é pedido: encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Informação importante sobre domínio (útil para manipular log e raiz): para todo
, então
é sempre positiva e a função
está bem definida para todo
.
Informação importante sobre domínio (útil para manipular log e raiz):
Passo 2
Identidade que simplifica a função: para qualquer
vale
. Vou usar essa identidade para tornar a derivação mais direta. (Essa identidade vem das regras de potências e do logaritmo:
.)
Passo 3
Reescrevo
usando a identidade:
Explanação: trocamos a raiz por uma potência
e puxamos o expoente para fora do log. Isso é legal porque a expressão dentro do log é positiva para todo
.
Passo 4
Regra que vamos aplicar: a derivada de
é dada por
Essa fórmula é um caso do “regra da cadeia”: primeiro derivamos a função externa
(que tem derivada
) e multiplicamos pela derivada da função interna
. Aqui
é a expressão interna ao log.
Passo 5
Identifico a função interna e calculo sua derivada: tomo
Usando a regra do poder (derivada de
é
) e lembrando que a derivada de constante é zero, obtemos
Passo 6
Aplico a regra do passo 4 à forma
. Primeiro, a constante
sai da derivada:
Substituo
e
:
Passo 7
Faço a simplificação final: o
no numerador cancela com o
, ficando
Comentário final rápido: a derivada está definida em todo
porque
para qualquer
.