Questão: Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\ln \left(\sqrt{x^{2}+5}\right)

Passo 1

Enunciado e dados: calcular a derivada da função
f(x)=\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+5}\right).
O que é pedido: encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.
Informação importante sobre domínio (útil para manipular log e raiz): x^{2}+5>0 para todo x\in\mathbb{R}, então \sqrt{x^{2}+5} é sempre positiva e a função f está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Identidade que simplifica a função: para qualquer u>0 vale \ln(\sqrt{u})=\ln(u^{1/2})=\tfrac{1}{2}\ln(u). Vou usar essa identidade para tornar a derivação mais direta. (Essa identidade vem das regras de potências e do logaritmo: \ln(u^a)=a\ln(u).)

Passo 3

Reescrevo f usando a identidade:
f(x)=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+5\bigr).
Explanação: trocamos a raiz por uma potência 1/2 e puxamos o expoente para fora do log. Isso é legal porque a expressão dentro do log é positiva para todo x.

Passo 4

Regra que vamos aplicar: a derivada de \ln(u(x)) é dada por
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Essa fórmula é um caso do “regra da cadeia”: primeiro derivamos a função externa \ln(\cdot) (que tem derivada 1/(\cdot)) e multiplicamos pela derivada da função interna u(x). Aqui u(x) é a expressão interna ao log.

Passo 5

Identifico a função interna e calculo sua derivada: tomo
u(x)=x^{2}+5.
Usando a regra do poder (derivada de x^{2} é 2x) e lembrando que a derivada de constante é zero, obtemos
u'(x)=2x.

Passo 6

Aplico a regra do passo 4 à forma f(x)=\tfrac{1}{2}\ln\bigl(u(x)\bigr). Primeiro, a constante \tfrac{1}{2} sai da derivada:
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}.
Substituo u(x)=x^{2}+5 e u'(x)=2x:
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+5}.

Passo 7

Faço a simplificação final: o 2 no numerador cancela com o \tfrac{1}{2}, ficando
f'(x)=\frac{x}{x^{2}+5}.
Comentário final rápido: a derivada está definida em todo \mathbb{R} porque x^{2}+5\neq0 para qualquer x.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{x^{2}+5}

Exercícios relacionados