Questão 1. ( 2 0 p t ). Sejam d, b, c e d quatro vetores de módulos iguais a k, cuja disposição formam um quadrado com resultante vetorial nula. Mostre que se trocarmos os sentidos de dois deles, consecutivamente, a resultante terá módulo igual a 2 raiz2 k.

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro vetores a,b,c,d todos de módulo k, dispostos como os lados de um quadrado, de modo que a soma vetorial original é nula:
a+b+c+d=0
O conteúdo que vamos usar é adição vetorial e cálculo de módulo de soma de vetores perpendiculares.

Passo 2

Suponha que invertamos o sentido de dois vetores consecutivos, por exemplo a e (\overrightarrow{b}$). Então passamos a ter
-a, -b, c, d
A resultante desses quatro vetores é
R = -a ;-;b;+;c;+;d )

Passo 3

Como originalmente a+b+c+d=0, temos
c+d = -(a+b)
Substituindo em R:
R = -a-b -(a+b) = -2l(a+br)

Passo 4

Para o módulo de R vem
llvertRrrvert =2,llverta+brrvert
Mas a e b são perpendiculares e cada uma tem módulo k, logo
llverta+brrvert =raizk^2 + k^2 = raiz2,k
Portanto
llvertRrrvert =2;raiz2,k

Resposta

O módulo da resultante é 2raiz2,k.

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