(a) O potencial V0(theta) é especificado de uma esfera oca, de raio R. Encontre o potencial dentro da esfera.
(b) O potencial V0(theta) é novamente especificado na superfície de uma esfera de raio R, mas desta vez nos pedem para encontrar o potencial externo, assumindo que lá não há carga.
(c) Suponha que o potencial é uma constante V0 sobre a superfície da esfera. Use os resultados dos itens (a) e (b) para encontrar o potencial dentro e fora da esfera. Você já deve conhecer o resultado. Esta é apenas uma verificação de coerência do método.

Passo 1

O enunciado diz que na superfície de uma casca esférica de raio R o potencial é dado por V(R,theta)=V0(theta). Queremos (a) o potencial para r<R (sem carga interna), (b) o potencial para r>R (sem carga externa) e (c) conferir que, se V0(theta) for constante V0, obtemos os resultados óbvios.
O conteúdo que vamos usar é a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas sem dependência de varphi, isto é, expansão em polinômios de Legendre Pl(costheta) e a condição de contorno em r=R.

Passo 2

Para r<R a solução geral regular em r=0 é
Vrm int(r,theta)=suml=0^inftyAl,r^l,Pl(costheta)
Aqui descartamos o termo r^-(l+1) para não gerar divergência em r=0.

Passo 3

Impondo Vrm int(R,theta)=V0(theta) e usando a ortogonalidade
integral0^piPl(costheta),Pm(costheta),sintheta,dtheta =22l+1,de<alm,
obtemos
Al,R^,l =2l+12integral0^piV0(theta),Pl(costheta),sintheta,dtheta,
logo
Al =2l+12,R^,l integral0^piV0(theta),Pl(costheta),sintheta,dtheta

Passo 4

Para r>R a solução regular no infinito é
Vrm ext(r,theta)=suml=0^inftyBl,r^-(l+1),Pl(costheta)
Impondo Vrm ext(R,theta)=V0(theta) e usando a mesma ortogonalidade, achamos
Bl,R^-(l+1) =2l+12integral0^piV0(theta),Pl(costheta),sintheta,dtheta,
portanto
Bl =2l+12,R^,l+1 integral0^piV0(theta),Pl(costheta),sintheta,dtheta

Passo 5

Se
Para , então
e
Logo
que é exatamente o que já conhecemos.

Resposta

Para r<R:
Vrm int(r,theta) =suml=0^inftyl[2l+12,R^,l!integral0^piV0(theta')Pl(costheta')sintheta',dtheta'r];r^lPl(costheta)
Para r>R:
Vrm ext(r,theta) =suml=0^inftyl[2l+12R^,l+1!integral0^piV0(theta')Pl(costheta')sintheta',dtheta'r];r^-(l+1)Pl(costheta)
Se V0(theta)=V0 constante, então
Vrm int=V0, Vrm ext=V0,Rr

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