(a) O potencial
é especificado de uma esfera oca, de raio
. Encontre o potencial dentro da esfera.
(b) O potencial
é novamente especificado na superfície de uma esfera de raio
, mas desta vez nos pedem para encontrar o potencial externo, assumindo que lá não há carga.
(c) Suponha que o potencial é uma constante
sobre a superfície da esfera. Use os resultados dos itens (a) e (b) para encontrar o potencial dentro e fora da esfera. Você já deve conhecer o resultado. Esta é apenas uma verificação de coerência do método.
(b) O potencial
(c) Suponha que o potencial é uma constante
Passo 1
O enunciado diz que na superfície de uma casca esférica de raio
o potencial é dado por
. Queremos (a) o potencial para
(sem carga interna), (b) o potencial para
(sem carga externa) e (c) conferir que, se
for constante
, obtemos os resultados óbvios.
O conteúdo que vamos usar é a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas sem dependência de , isto é, expansão em polinômios de Legendre
e a condição de contorno em
.
O conteúdo que vamos usar é a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas sem dependência de
Passo 2
Para
a solução geral regular em
é
Aqui descartamos o termo
para não gerar divergência em
.
Passo 3
Impondo
e usando a ortogonalidade
obtemos
logo
Passo 4
Para
a solução regular no infinito é
Impondo
e usando a mesma ortogonalidade, achamos
portanto
Passo 5
Se
Para , então
e
Logo
que é exatamente o que já conhecemos.
Resposta
Para
:
Para
:
Se
constante, então