Questão 2 - A uma temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}, uma bala de chumbo de 10 g , com uma velocidade de 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, penetra num pêndulo balístico de massa igual a 200 g e fica retida nele. Se a energia cinética dissipada pela bala fosse totalmente gasta em aquecê-la, daria pra derreter uma parte dela? Em caso afirmativo, quantas gramas? O calor específico do chumbo é 0,031 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}, sua temperatura de fusão é de 327^{\circ} \mathrm{C} e o calor latente de fusão é 5,85 \mathrm{cal} / \mathrm{g}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Massa da bala: m_b = 10\\ \mathrm{g} = 0,01\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial da bala: v = 300\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa do pêndulo (antes da colisão): m_p = 200\\ \mathrm{g} = 0,2\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do chumbo: T_i = 27^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura de fusão do chumbo: T_f = 327^{\circ}\mathrm{C}.
  • Calor específico do chumbo: c = 0,031\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Calor latente de fusão do chumbo: L = 5,85\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
O enunciado pede:
  1. Se a energia cinética dissipada pela bala ao penetrar no pêndulo fosse toda usada para aquecê-la, daria para derreter parte dela?
  2. Em caso afirmativo, quantas gramas seriam derretidas?
Observação importante (condição assumida pelo enunciado): assumir que toda a energia cinética “dissipada” na colisão vai somente para aquecer a própria bala (ignorando aquecimento do pêndulo, perdas para som, deformação que não vira calor na bala, etc.). A resolução seguirá essa hipótese.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar a energia cinética que foi dissipada na colisão. A colisão é completamente inelástica (a bala fica retida no pêndulo), portanto usamos conservação do momento linear para achar a velocidade comum imediatamente após a colisão.
Princípio usado: em ausência de forças externas impulsivas, o momento linear total se conserva durante a colisão. A fórmula é
m_b\,v = (m_b + m_p)\,V,
onde
  • m_b é a massa da bala,
  • m_p é a massa do pêndulo,
  • v é a velocidade da bala antes da colisão,
  • V é a velocidade comum do conjunto (bala + pêndulo) logo após a colisão.
Isolando V:
V = \frac{m_b\,v}{m_b + m_p}.
Agora substituo os números (tome cuidado com unidades já convertidas para kg e m/s):
V = \frac{0,01\cdot 300}{0,01+0,2}=\frac{3}{0,21}=14,2857\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando sensatamente, \;V\approx 14,29\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora calculo as energias cinéticas: a energia cinética inicial da bala e a energia cinética final do sistema (bala + pêndulo) logo após a colisão.
Fórmula da energia cinética translacional:
K=\tfrac{1}{2} m v^2,
onde m é a massa e v a velocidade.
Energia cinética inicial da bala:
K_i=\tfrac{1}{2} m_b v^2=\tfrac{1}{2}\cdot 0,01\cdot 300^2=0,005\cdot 90000=450\\ \mathrm{J}.
Energia cinética do conjunto após a colisão:
K_f=\tfrac{1}{2}(m_b+m_p) V^2=\tfrac{1}{2}\cdot 0,21\cdot (14,2857\ldots)^2.
Cálculo numérico:
(14,2857\ldots)^2\approx 204,0816,
0,21\cdot 204,0816\approx 42,8571,
K_f\approx \tfrac{1}{2}\cdot 42,8571 \approx 21,4286\\ \mathrm{J}.
Arredondando: K_f\approx 21,43\\ \mathrm{J}.

Passo 4

A energia cinética dissipada (convertida em calor/deformação, etc.) durante a colisão é a diferença entre a energia inicial da bala e a energia final do conjunto:
Q_{\text{diss (J)}} = K_i - K_f = 450 - 21,4286 \approx 428,5714\\ \mathrm{J}.
Como os dados térmicos estão em calorias, converto joules para calorias usando
1\\ \mathrm{cal} = 4,186\\ \mathrm{J}.
Portanto
Q_{\text{diss (cal)}} = \frac{428,5714}{4,186}\approx 102,4\\ \mathrm{cal}.
Breve interpretação: cerca de 428,6\\ \mathrm{J} (ou 102,4\\ \mathrm{cal}) foi a energia disponível para aquecer a bala, segundo a hipótese do enunciado.

Passo 5

Agora calculo quanto de energia é necessária para que 1\\ \mathrm{g} de chumbo, à temperatura inicial 27^{\circ}\mathrm{C}, seja aquecido até a fusão e então derretido. Esse é o gasto por grama para transformar chumbo sólido em chumbo fundido.
Energia necessária por grama:
q_{\text{g}} = c\,(T_f - T_i) + L,
onde
  • c é o calor específico em \mathrm{cal}/\mathrm{g}^{\circ}\mathrm{C},
  • T_f é a temperatura de fusão,
  • T_i é a temperatura inicial,
  • L é o calor latente de fusão (em \mathrm{cal}/\mathrm{g}).
Substituindo:
q_{\text{g}} = 0,031\cdot(327-27) + 5,85 = 0,031\cdot 300 + 5,85.
0,031\cdot 300 = 9,3,
q_{\text{g}} = 9,3 + 5,85 = 15,15\\ \mathrm{cal/g}.
Portanto, para cada grama de chumbo precisamos de 15,15\\ \mathrm{cal} para aquecê-lo de 27^{\circ}\mathrm{C} até derretê-lo completamente.

Passo 6

Com Q_{\text{diss (cal)}} disponível e sabendo q_{\text{g}} por grama, a massa que pode ser derretida é:
m_{\text{derretida}} = \frac{Q_{\text{diss (cal)}}}{q_{\text{g}}} = \frac{102,4}{15,15}\approx 6,76\\ \mathrm{g}.
Verificação de consistência: a massa derretida calculada é menor que a massa total da bala ( 10\\ \mathrm{g}), então faz sentido físico dentro da hipótese do enunciado.
Interpretação final: sim, seria possível derreter parte da bala; aproximadamente 6,76\\ \mathrm{g} de chumbo poderiam derreter se toda a energia dissipada fosse utilizada só para aquecer e fundir a bala.

Resposta

Sim. 6,76\\ \mathrm{g}

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