Questão 3. Uma parábola tem vértice dado pelo ponto V=(4,4) e foco F=(4,5).
(a) ( 2.0 pontos). Determine a equação reduzida dessa parábola. Adote 2 p como sendo a distância do foco a reta diretriz.
(b) (1.5 ponto). Diga quem é a diretriz dessa parábola. Apresente a equação geral dessa parabolą e faça um esboço de seu gráfico.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma parábola com vértice em V=(4,4) e foco em F=(4,5). Vamos usar a definição de parábola (o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da reta diretriz), identificar o parâmetro p (distância do vértice ao foco) e, a partir daí, obter a equação reduzida, a reta diretriz, a forma geral e um esboço do gráfico.

Passo 2

A distância do vértice ao foco é
p = \sqrt{(4-4)^2 + (5-4)^2} = 1.
Como o foco está acima do vértice, a parábola abre para cima e seu eixo é vertical.

Passo 3

A equação reduzida de uma parábola de vértice (h,k) que abre para cima é
(x-h)^2 = 4p\,(y-k).
Aqui h=4, k=4 e p=1, logo
(x-4)^2 = 4\,(y-4).

Passo 4

A diretriz fica a uma distância p do vértice, mas no sentido oposto ao foco. Assim,
y = k - p = 4 - 1 = 3.

Passo 5

Para obter a forma geral, expandimos
(x-4)^2 = 4(y-4)
x^2 - 8x + 16 = 4y - 16
x^2 - 8x - 4y + 32 = 0.

Passo 6

Esboço do gráfico (parametrizando alguns pontos e colocando foco e diretriz):
y

7 |
6 |
5 | · F(4,5)
4 | · V(4,4)
3 |––––––––––––––––––– diretriz: y =32 |
+––––––––––––––––––––––––→ x
0123456
A curva passa pelo vértice em (4,4), fica “abaixo” do foco (4,5) e sempre acima da reta y=3, abrindo para cima.

Resposta

(a) (x-4)^2 = 4(y-4).
(b) Diretriz: y = 3.
Equação geral: x^2 - 8x - 4y + 32 = 0.
Gráfico: conforme esboçado no Passo 6.

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