Questão 3. Uma parábola tem vértice dado pelo ponto
e foco
.
(a) ( 2.0 pontos). Determine a equação reduzida dessa parábola. Adote
como sendo a distância do foco a reta diretriz.
(b) (1.5 ponto). Diga quem é a diretriz dessa parábola. Apresente a equação geral dessa parabolą e faça um esboço de seu gráfico.
(a) ( 2.0 pontos). Determine a equação reduzida dessa parábola. Adote
(b) (1.5 ponto). Diga quem é a diretriz dessa parábola. Apresente a equação geral dessa parabolą e faça um esboço de seu gráfico.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma parábola com vértice em
e foco em
. Vamos usar a definição de parábola (o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da reta diretriz), identificar o parâmetro
(distância do vértice ao foco) e, a partir daí, obter a equação reduzida, a reta diretriz, a forma geral e um esboço do gráfico.
Passo 2
A distância do vértice ao foco é
Como o foco está acima do vértice, a parábola abre para cima e seu eixo é vertical.
Passo 3
A equação reduzida de uma parábola de vértice
que abre para cima é
Aqui
,
e
, logo
Passo 4
A diretriz fica a uma distância
do vértice, mas no sentido oposto ao foco. Assim,
Passo 5
Para obter a forma geral, expandimos
Passo 6
Esboço do gráfico (parametrizando alguns pontos e colocando foco e diretriz):
y
↑
7 |
6 |
5 | · F(4,5)
4 | · V(4,4)
3 |––––––––––––––––––– diretriz: y |
+––––––––––––––––––––––––→ x
↑
7 |
6 |
5 | · F(4,5)
4 | · V(4,4)
3 |––––––––––––––––––– diretriz: y
+––––––––––––––––––––––––→ x
A curva passa pelo vértice em
, fica “abaixo” do foco
e sempre acima da reta
, abrindo para cima.
Resposta
(a)
(b) Diretriz:
Equação geral:
Gráfico: conforme esboçado no Passo 6.
(b) Diretriz:
Equação geral:
Gráfico: conforme esboçado no Passo 6.