\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\x_{2}\x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\\ 1\\\ -1 \end{pmatrix},
que corresponde às três equações
\begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=0,\\\\ 2x_{1}+x_{2}=1,\\\\ -\,x_{1}-x_{3}=-1. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares de três equações e três incógnitas, e vamos usar o método de substituição para encontrar a solução geral.

Passo 2

Começamos pela segunda equação, que é mais simples e não envolve x_{3}:
2x_{1}+x_{2}=1.
Desse modo isolamos x_{2}:
x_{2}=1-2x_{1}.

Passo 3

Substituímos essa expressão de x_{2} nas outras duas equações.
Na primeira equação x_{1}+x_{2}-x_{3}=0 temos
x_{1} + (1-2x_{1}) - x_{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\,x_{1} +1 - x_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}+x_{3}=1.
A terceira equação -x_{1}-x_{3}=-1 pode ser reescrita como
x_{1}+x_{3}=1,
que é exatamente a mesma relação obtida acima. Isso mostra que não há equação nova além dessa, indicando um grau de liberdade.

Passo 4

Como só temos a relação
x_{1}+x_{3}=1
e a expressão de x_{2}, podemos escolher x_{1} como parâmetro livre. Seja t=x_{1}. Então
x_{3}=1-t, \quad x_{2}=1-2t.
Isso gera a solução geral em termos de t\in\mathbb{R}.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=(t,\;1-2t,\;1-t), \quad t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados