A reta r é determinada pelas equações abaixo (intersecção de dois planos):
\left\{\begin{array}{lll} x+y+z & = & 3 \\\ x-5 y-2 z & = & -3 \end{array}\right.
Uma equação vetorial para a reta r pode ser dada por:
r: \quad X=(\square, \square , 12)+\gamma(\square,
\square
\square \gamma \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a reta r\) como interseção de dois planos \[\begin{cases} x + y + z = 3,\\\ x - 5y - 2z = -3, \end{cases}
e pede uma equação vetorial da forma
X = (\square,\;\square,\;12) \;+\;\gamma\,(\square,\;\square,\;\square),\quad \gamma\in\mathbb R.
Para isso precisamos de um ponto em r\] e de um vetor diretor de \(r.

Passo 2

Os vetores normais aos planos são \,n_1=(1,1,1) e n_2=(1,-5,-2).
O vetor diretor de r é dado pelo produto vetorial
d \;=\;n_1\times n_2 \;=\;(1,1,1)\times(1,-5,-2) \;=\;(3,3,-6),
que podemos simplificar por 3 para obter
d=(1,1,-2).

Passo 3

Para encontrar um ponto de r cuja terceira coordenada seja 12, substituímos z=12 nas equações dos planos:
x + y + 12 = 3, \qquad x - 5y - 2\cdot12 = -3.
Isso gera
x + y = -9, \qquad x - 5y = 21.
Subtraindo a primeira da segunda:
(x-5y)-(x+y)=21-(-9)\;\Longrightarrow\;-6y=30\;\Longrightarrow\;y=-5,
e então x=-9-y=-4. Logo um ponto de r é
P_0 = (-4,\,-5,\,12).

Passo 4

Juntando o ponto P_0 e o vetor diretor d, obtemos a equação vetorial
X = (-4,-5,12) \;+\;\gamma\,(1,1,-2),\quad \gamma\in\mathbb R.

Resposta

A reta r pode ser escrita como
X = (-4,-5,12) + \gamma\,(1,1,-2),\quad \gamma\in\mathbb{R}.

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