Questão 6. Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, z \geq 1, x \geq 0, y \geq 0\right\}.
Resposta: (2 \operatorname{sen} \varphi \cos \theta, 2 \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta, 2 \cos \varphi),(\varphi, \theta) \in\left[0, \frac{\pi}{3}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right].

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a superfície
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2+z^2=4,\;z\ge1,\;x\ge0,\;y\ge0\}.
O conteúdo aqui é usar coordenadas esféricas para superfície de esfera de raio 2 e depois impor as restrições z\ge1, x\ge0, y\ge0 para determinar o domínio dos parâmetros.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos, para raio fixo r=2,
x=2\sin\varphi\cos\theta,\quad y=2\sin\varphi\sin\theta,\quad z=2\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo polar (medido desde o eixo z) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.

Passo 3

Agora impomos as condições:
  1. z\ge1 implica
2\cos\varphi\ge1 \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi\ge\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \varphi\in\bigl[0,\operatorname{arccos}(\tfrac12)\bigr] =\bigl[0,\tfrac{\pi}{3}\bigr].
  1. x\ge0 e y\ge0 exigem
\cos\theta\ge0,\quad\sin\theta\ge0 \quad\Longrightarrow\quad \theta\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Resposta

\mathbf{r}(\varphi,\theta) =\bigl(2\sin\varphi\cos\theta,\;2\sin\varphi\sin\theta,\;2\cos\varphi\bigr), \quad (\varphi,\theta)\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{3}\bigr]\times\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].

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