Questão 3
Parcialmente correto
Atingiu 1,50 de 3,00
Sejam
e
duas medidas quaisquer.
Responda obedecendo as regras de operações com algarismos significativos:
ATT: Ao calcular o seno considere que
está dado em radianos.
Obs: Para garantir que a correção automática funcione não use notação científica!
Atingiu 1,50 de 3,00
Responda obedecendo as regras de operações com algarismos significativos:
Passo 1
O enunciado dá duas medidas e pede que se calculem, obedecendo as regras de algarismos significativos, os dois valores abaixo:
As expressões a avaliar são:
Observações importantes extraídas do enunciado (informações que vamos usar):
-
está em radianos (isso vale para o cálculo do seno). - Tratar os algarismos significativos corretamente em cada operação é o objetivo principal.
Passo 2
Regras de algarismos significativos que vou aplicar (explicação didática e simples):
- Cada medida tem um número de algarismos significativos:
tem 5 algarismos significativos; tem 6 algarismos significativos. - Operações de multiplicação/divisão: o resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos que a entrada com MENOS algarismos significativos.
Ex.:— se tem 5 sf e 2 é exato, o resultado mantém 5 sf. - Operações de adição/subtração: o que importa é a precisão em termos de casas decimais; o resultado deve ser arredondado de modo que a última casa decimal tenha a mesma posição da menos precisa das parcelas.
Ex.: somar(5 casas decimais) com (5 casas decimais) → resultado com 5 casas decimais. - Funções logarítmicas (como
): regra prática usada em laboratório/curso: o número de algarismos significativos da mantissa (parte decimal) do logaritmo deve ser igual ao número de algarismos significativos do argumento. Por exemplo, se o argumento tem 5 sf, deve ser dado com 5 casas decimais na parte fracionária. - Raiz quadrada (e raízes em geral): uma regra comum é manter o mesmo número de algarismos significativos do argumento no resultado (ou usar propagação de erro); aqui usarei a regra prática de manter sf iguais ao do argumento quando razoável.
- Funções trigonométricas com argumento em radianos: o valor do seno é muito sensível à precisão do ângulo; na prática o número de algarismos significativos do seno não pode exceder o que o ângulo permite. Neste exercício vamos usar
com 5 sf, de modo que o valor final envolvendo será apresentado com 5 algarismos significativos (aplicando a regra do produto com e 2).
Vou aplicar essas regras passo a passo nas duas expressões.
Passo 3
Cálculo detalhado da primeira expressão
.
- Simplificação útil:
- Calcular
. Para controlar casas decimais é prático decompor:
Usando
e aproximando
com uma expansão local (ou com calculadora de alta precisão), obtém-se
Logo
- Arredondamento da
: como tem 5 algarismos significativos, aplicamos a regra do logaritmo: a parte decimal de deve ter 5 casas decimais. Assim:
- Multiplicar por
(o 5 é exato):
Esta quantidade tem 5 casas decimais (mesma precisão herdada).
- Agora calcular
com . A raiz quadrada numérica:
Aplicando a regra prática (manter os algarismos significativos do argumento na raiz),
tem 6 sf, então conservamos 6 sf em
. Assim:
Observação: tanto
quanto
estão escritos com 5 casas decimais depois da vírgula; portanto, para a adição devemos manter 5 casas decimais.
- Somar com a regra de casas decimais:
- Decisão final de algarismos significativos: entre as medidas iniciais, a MENOR contagem de algarismos significativos é
(vinda de ). Para apresentar o resultado final segundo as regras usuais do laboratório/curso (e para compatibilizar com a regra do log), arredondamos o resultado final para algarismos significativos. O número com 5 algarismos significativos (começando no primeiro dígito não nulo) é:
Portanto a primeira expressão, com as regras de algarismos significativos aplicadas, fica
.
Passo 4
Cálculo detalhado da segunda expressão
.
- Identificar algarismos significativos dos fatores:
-
tem algarismos significativos. -
tem algarismos significativos; o seno depende de , portanto a incerteza de limita a precisão de . No produto , considerando que é exato, o resultado final não pode ter mais algarismos significativos do que o menor entre os fatores medidos; aqui o menor é (de ). Assim o resultado final será dado com algarismos significativos.
- Calcular
. Como é grande, uso a periodicidade do seno:
onde
. Calculei
Então o resto (ângulo reduzido) é
Portanto
(para obter esse valor foi usada uma expansão com termos suficientes ou uma calculadora de alta precisão; aqui mostrei o procedimento de redução ao intervalo principal).
- Calcular
:
- Multiplicar:
- Arredondamento final por algarismos significativos: como o menor número de algarismos significativos entre as medidas é
(de ), o resultado final deve ser dado com algarismos significativos. Assim: