Questão 3

Parcialmente correto
Atingiu 1,50 de 3,00
Sejam x=22539 e y=1,55503 duas medidas quaisquer.
Responda obedecendo as regras de operações com algarismos significativos:
5 \ln \left(x^{2}\right)+\sqrt{y}=101.48
2 y \sin (x)=-1.8121
ATT: Ao calcular o seno considere que x está dado em radianos.
Obs: Para garantir que a correção automática funcione não use notação científica!

Passo 1

O enunciado dá duas medidas e pede que se calculem, obedecendo as regras de algarismos significativos, os dois valores abaixo:
x=22539
y=1,55503
As expressões a avaliar são:
5\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\sqrt{y}
2\,y\sin(x)
Observações importantes extraídas do enunciado (informações que vamos usar):
  • x está em radianos (isso vale para o cálculo do seno).
  • Tratar os algarismos significativos corretamente em cada operação é o objetivo principal.

Passo 2

Regras de algarismos significativos que vou aplicar (explicação didática e simples):
  • Cada medida tem um número de algarismos significativos: x=22539 tem 5 algarismos significativos; y=1,55503 tem 6 algarismos significativos.
  • Operações de multiplicação/divisão: o resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos que a entrada com MENOS algarismos significativos.
    Ex.: 2\cdot 1,2345 — se 1,2345 tem 5 sf e 2 é exato, o resultado mantém 5 sf.
  • Operações de adição/subtração: o que importa é a precisão em termos de casas decimais; o resultado deve ser arredondado de modo que a última casa decimal tenha a mesma posição da menos precisa das parcelas.
    Ex.: somar 100,23005 (5 casas decimais) com 1,24701 (5 casas decimais) → resultado com 5 casas decimais.
  • Funções logarítmicas (como \ln): regra prática usada em laboratório/curso: o número de algarismos significativos da mantissa (parte decimal) do logaritmo deve ser igual ao número de algarismos significativos do argumento. Por exemplo, se o argumento tem 5 sf, \ln(\cdot) deve ser dado com 5 casas decimais na parte fracionária.
  • Raiz quadrada (e raízes em geral): uma regra comum é manter o mesmo número de algarismos significativos do argumento no resultado (ou usar propagação de erro); aqui usarei a regra prática de manter sf iguais ao do argumento quando razoável.
  • Funções trigonométricas com argumento em radianos: o valor do seno é muito sensível à precisão do ângulo; na prática o número de algarismos significativos do seno não pode exceder o que o ângulo permite. Neste exercício vamos usar x com 5 sf, de modo que o valor final envolvendo \sin(x) será apresentado com 5 algarismos significativos (aplicando a regra do produto com y e 2).
Vou aplicar essas regras passo a passo nas duas expressões.

Passo 3

Cálculo detalhado da primeira expressão \;5\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\sqrt{y}.
  1. Simplificação útil:
\ln\bigl(x^{2}\bigr)=2\ln(x).
  1. Calcular \ln(x). Para controlar casas decimais é prático decompor:
x=22539=2{,}2539\times10^{4},
\ln(22539)=\ln(2{,}2539)+4\ln(10).
Usando \ln(10)=2{,}302585093\ldots e aproximando \ln(2{,}2539) com uma expansão local (ou com calculadora de alta precisão), obtém-se
\ln(22539)\approx10{,}023002872\ldots
Logo
\ln\bigl(x^{2}\bigr)=2\ln(22539)\approx20{,}046005744\ldots
  1. Arredondamento da \ln: como x tem 5 algarismos significativos, aplicamos a regra do logaritmo: a parte decimal de \ln(x^{2}) deve ter 5 casas decimais. Assim:
\ln\bigl(x^{2}\bigr)\approx20{,}04601\quad(\text{5 casas decimais na parte fracionária}).á
  1. Multiplicar por 5 (o 5 é exato):
5\ln\bigl(x^{2}\bigr)\approx5\cdot20{,}04601=100{,}23005.
Esta quantidade tem 5 casas decimais (mesma precisão herdada).
  1. Agora calcular \sqrt{y} com y=1{,}55503. A raiz quadrada numérica:
\sqrt{1{,}55503}\approx1{,}2470084\ldots
Aplicando a regra prática (manter os algarismos significativos do argumento na raiz), y tem 6 sf, então conservamos 6 sf em \sqrt{y}. Assim:
\sqrt{y}\approx1{,}24701\quad(\text{6 algarismos significativos}).
Observação: tanto 100{,}23005 quanto 1{,}24701 estão escritos com 5 casas decimais depois da vírgula; portanto, para a adição devemos manter 5 casas decimais.
  1. Somar com a regra de casas decimais:
5\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\sqrt{y}\approx100{,}23005+1{,}24701=101{,}47706.
  1. Decisão final de algarismos significativos: entre as medidas iniciais, a MENOR contagem de algarismos significativos é 5 (vinda de x). Para apresentar o resultado final segundo as regras usuais do laboratório/curso (e para compatibilizar com a regra do log), arredondamos o resultado final para 5 algarismos significativos. O número 101{,}47706 com 5 algarismos significativos (começando no primeiro dígito não nulo) é:
101{,}48.
Portanto a primeira expressão, com as regras de algarismos significativos aplicadas, fica \;101{,}48.

Passo 4

Cálculo detalhado da segunda expressão \;2\,y\sin(x).
  1. Identificar algarismos significativos dos fatores:
  • y tem 6 algarismos significativos.
  • x tem 5 algarismos significativos; o seno depende de x, portanto a incerteza de x limita a precisão de \sin(x). No produto 2\cdot y\cdot\sin(x), considerando que 2 é exato, o resultado final não pode ter mais algarismos significativos do que o menor entre os fatores medidos; aqui o menor é 5 (de x). Assim o resultado final será dado com 5 algarismos significativos.
  1. Calcular \sin(x). Como x é grande, uso a periodicidade do seno:
\sin(x)=\sin\bigl(x-2\pi k\bigr),
onde k=\left\lfloor\dfrac{x}{2\pi}\right\rfloor. Calculei
k=\left\lfloor\dfrac{22539}{2\pi}\right\rfloor=3587.
Então o resto (ângulo reduzido) é
r=22539-3587\cdot2\pi\approx22539-22537{,}785696853176=1{,}214303146824.
Portanto
\sin(22539)=\sin(r)=\sin(1{,}214303146824)\approx0{,}93713833\ldots
(para obter esse valor foi usada uma expansão com termos suficientes ou uma calculadora de alta precisão; aqui mostrei o procedimento de redução ao intervalo principal).
  1. Calcular 2y:
2y=2\cdot1{,}55503=3{,}11006\quad(\text{exato, mantendo as casas de \(y\)}).
  1. Multiplicar:
2y\sin(x)\approx3{,}11006\cdot0{,}93713833\approx2{,}914556425\ldots
  1. Arredondamento final por algarismos significativos: como o menor número de algarismos significativos entre as medidas é 5 (de x), o resultado final deve ser dado com 5 algarismos significativos. Assim:
2{,}914556425\\ \longrightarrow\\\ 2{,}9146\\ (\text{5 algarismos significativos}).

Resposta

101{,}48
2{,}9146

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