Questão 3

Resposta incompleta Vale 3,00 ponto(s).
Sejam x=123,4 e y=0,1234 duas medidas quaisquer.
Responda obedecendo as regras de operações com algarismos significativos:
\begin{aligned} & 5 \ln \left(x^{2}\right)+\sqrt{y}=48.5 \\\ & 2 y \sin (x)=-0.198 \end{aligned}
ATT: Ao calcular o seno considere que x está dado em radianos.
Obs: Para garantir que a correção automática funcione não use notação científica!
Por favor responda todas as partes da questão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • x=123,4. (Temos que considerar os algarismos significativos dessa medida.)
    • y=0,1234.
  • O enunciado apresenta duas expressões (cada uma é uma conta a ser avaliada obedecendo às regras de algarismos significativos):
    1. 5 \ln\!\bigl(x^{2}\bigr)+\sqrt{y}.
    2. 2\,y\,\sin(x), com x em radianos.
  • Objetivo: calcular os valores numéricos dessas duas expressões e apresentar os resultados respeitando as regras de algarismos significativos (arredondamento apropriado para cada operação).
Observações sobre os algarismos significativos dos dados (importante para toda a resolução):
  • x=123,4 tem 4 algarismos significativos (os dígitos significativos são 1, 2, 3 e 4).
  • y=0,1234 tem 4 algarismos significativos (o zero à esquerda não conta).

Passo 2

Relembrando, de forma prática e simples, as regras que vou usar (mini-aula):
  • Para funções elementares como \ln(\cdot), \sqrt{\cdot} e \sin(\cdot): quando a função é aplicada a uma medida, o resultado deve ser apresentado com o mesmo número de algarismos significativos que o argumento medido (a regra prática adotada aqui).
  • Para multiplicação/divisão: o resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos que o fator com menor número de algarismos significativos.
  • Para adição/subtração: o resultado deve ser arredondado para ter o mesmo número de casas decimais que o termo com o menor número de casas decimais.
  • Números como 2 ou 5 escritos sem indicação de incerteza são normalmente tratados como exatos (contagens ou constantes), portanto não limitam os algarismos significativos.
Vou aplicar essas regras passo a passo em cada expressão.

Passo 3

Calcular a primeira parte: 5 \ln\!\bigl(x^{2}\bigr)+\sqrt{y}.
  1. Preparação: calcular x^{2}.
  • x^{2}=(123,4)^{2}=15227,56 (cálculo direto).
  • Como x tem 4 algarismos significativos, o valor de x^{2} apresentado como medida teria também 4 algarismos significativos se eu precisasse reportá-lo. Mas para avaliar a função \ln eu uso o valor numérico (mantendo mais casas internamente para não acumular erro) e depois aplico a regra de arredondamento da função.
  1. Calcular \ln\!\bigl(x^{2}\bigr).
  • Valor numérico (mais completo) \ln(15227,56)\approx 9,630858 (cálculo numérico).
  • Regra: como o argumento x (ou x^{2}) tem 4 algarismos significativos, apresento \ln(x^{2}) com 4 algarismos significativos.
  • Arredondando 9,630858 para 4 algarismos significativos obtém-se 9,631.
    • Explicando o arredondamento: os quatro algarismos significativos são 9, 6, 3, 0; o próximo dígito é 8, então o último (0) é arredondado para 1 → 9,631.
  1. Multiplicar por 5:
  • 5 é tratado como exato, então 5\cdot 9,631 = 48,155.
  • Porém a regra de multiplicação pede que o produto tenha o número de algarismos significativos do fator com menor número de algarismos significativos; aqui o fator mensurado foi a função (4 algarismos significativos), logo o produto final deve ter 4 algarismos significativos.
  • Arredondando 48,155 para 4 algarismos significativos dá 48,16.
    • Detalhe: os quatro algarismos são 4, 8, 1, 5; o próximo dígito é 5, então o último 5 é arredondado para 6 → 48,16.
  1. Calcular \sqrt{y}.
  • Valor numérico: \sqrt{0,1234}\approx 0,3512835 (valor calculado com precisão).
  • Regra: y tem 4 algarismos significativos, então \sqrt{y} deve ser apresentado com 4 algarismos significativos.
  • Arredondando 0,3512835 para 4 algarismos significativos obtém-se 0,3513.
    • Aqui os algarismos significativos são 3, 5, 1, 2; o próximo dígito é 8 → o 2 vira 3 → 0,3513.
  1. Somar os dois termos: 5\ln(x^{2}) (já arredondado para 48,16) e \sqrt{y} (já arredondado para 0,3513).
  • Regra de adição: o resultado deve ser arredondado para o menor número de casas decimais entre os termos somados.
    • 48,16 tem 2 casas decimais.
    • 0,3513 tem 4 casas decimais.
    • Portanto o resultado deve ser arredondado para 2 casas decimais.
  • Soma numérica (com os valores arredondados usados como medidas): 48,16 + 0,3513 = 48,5113.
  • Arredondando para 2 casas decimais: 48,51.
Comentário pedagógico: algumas pessoas preferem manter maior precisão interna e só arredondar no final; aqui segui a regra prática consistente com a manipulação de medidas: cada termo (função aplicada a medida) foi reportado com seus algarismos significativos antes da adição, e a soma seguiu a regra de casas decimais. Resultado final para a primeira expressão: 48,51.

Passo 4

Calcular a segunda parte: 2\,y\,\sin(x) com x em radianos.
  1. Determinar \sin(x) para x=123,4 rad.
  • Como x é grande, primeiro reduzimos módulo 2\pi para facilitar o cálculo:
    • 2\pi \approx 6,283185307.
    • 123,4\div 6,283185307 dá quociente inteiro 19 (pois 6,283185307\cdot 19 \approx 119,3805208).
    • Resto: 123,4 - 119,3805208 \approx 4,0194792.
    • Logo \sin(123,4)=\sin(4,0194792).
  • Observação: 4,0194792=\pi+0,8778866 (pois \pi\approx 3,1415927), então \sin(4,0194792)=-\sin(0,8778866) (seno negativo nesse quadrante).
  • Calcular \sin(0,8778866) por série ou aproximação numérica:
    • Usando desenvolvimento em série e termos até quinta ou sétima ordem (mostrei o raciocínio na análise), obtemos \sin(0,8778866)\approx 0,769380.
    • Portanto \sin(4,0194792)\approx -0,769380.
  • Regra: x tem 4 algarismos significativos, então o valor \sin(x) deve ser apresentado com 4 algarismos significativos.
  • Arredondando -0,769380 para 4 algarismos significativos: -0,7694.
    • (dígitos significativos 7,6,9,3 e próxima casa 8 → 3 arredonda para 4).
  1. Calcular 2\,y.
  • y=0,1234 2\,y=2\cdot 0,1234 = 0,2468.
  • Tratando 2 como exato, o número de algarismos significativos do produto é o mesmo dos fatores medidos; y tem 4 algarismos significativos, então 2y tem 4 algarismos significativos: 0,2468 (já com 4 algarismos).
  1. Multiplicar 2y por \sin(x):
  • Valores usados: 0,2468 (4 sf) e -0,7694 (4 sf).
  • Produto numérico: 0,2468\cdot (-0,7694)\approx -0,18988392 (valor calculado).
  • Regra de multiplicação: resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos que o fator com menor número de algarismos significativos; ambos têm 4 sf, então o produto deve ter 4 sf.
  • Arredondando -0,18988392 para 4 algarismos significativos:
    • os quatro primeiros algarismos significativos são 1, 8, 9, 8; o próximo é 8 → o quarto algarismo (8) arredonda para 9.
    • Resultado final: -0,1899.
Comentário: mantive a lógica de arredondar \sin(x) para 4 algarismos significativos antes da multiplicação porque \sin é função aplicada à medida x; esse valor arredondado multiplica 2y e a regra de multiplicação determina o número de algarismos no produto final.

Resposta

48,51
-0,1899

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