Questão 3
Resposta incompleta Vale 3,00 ponto(s).
Sejam
e
duas medidas quaisquer.
Responda obedecendo as regras de operações com algarismos significativos:
ATT: Ao calcular o seno considere que
está dado em radianos.
Obs: Para garantir que a correção automática funcione não use notação científica!
Por favor responda todas as partes da questão.
Responda obedecendo as regras de operações com algarismos significativos:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados:
-
. (Temos que considerar os algarismos significativos dessa medida.) -
.
-
- O enunciado apresenta duas expressões (cada uma é uma conta a ser avaliada obedecendo às regras de algarismos significativos):
-
. -
, com em radianos.
-
- Objetivo: calcular os valores numéricos dessas duas expressões e apresentar os resultados respeitando as regras de algarismos significativos (arredondamento apropriado para cada operação).
Observações sobre os algarismos significativos dos dados (importante para toda a resolução):
-
tem 4 algarismos significativos (os dígitos significativos são 1, 2, 3 e 4). -
tem 4 algarismos significativos (o zero à esquerda não conta).
Passo 2
Relembrando, de forma prática e simples, as regras que vou usar (mini-aula):
- Para funções elementares como
, e : quando a função é aplicada a uma medida, o resultado deve ser apresentado com o mesmo número de algarismos significativos que o argumento medido (a regra prática adotada aqui). - Para multiplicação/divisão: o resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos que o fator com menor número de algarismos significativos.
- Para adição/subtração: o resultado deve ser arredondado para ter o mesmo número de casas decimais que o termo com o menor número de casas decimais.
- Números como
ou escritos sem indicação de incerteza são normalmente tratados como exatos (contagens ou constantes), portanto não limitam os algarismos significativos.
Vou aplicar essas regras passo a passo em cada expressão.
Passo 3
Calcular a primeira parte:
.
- Preparação: calcular
.
-
(cálculo direto). - Como
tem 4 algarismos significativos, o valor de apresentado como medida teria também 4 algarismos significativos se eu precisasse reportá-lo. Mas para avaliar a função eu uso o valor numérico (mantendo mais casas internamente para não acumular erro) e depois aplico a regra de arredondamento da função.
- Calcular
.
- Valor numérico (mais completo)
(cálculo numérico). - Regra: como o argumento
(ou ) tem 4 algarismos significativos, apresento com 4 algarismos significativos. - Arredondando
para 4 algarismos significativos obtém-se . - Explicando o arredondamento: os quatro algarismos significativos são 9, 6, 3, 0; o próximo dígito é 8, então o último (0) é arredondado para 1 →
.
- Explicando o arredondamento: os quatro algarismos significativos são 9, 6, 3, 0; o próximo dígito é 8, então o último (0) é arredondado para 1 →
- Multiplicar por 5:
-
é tratado como exato, então . - Porém a regra de multiplicação pede que o produto tenha o número de algarismos significativos do fator com menor número de algarismos significativos; aqui o fator mensurado foi a função (4 algarismos significativos), logo o produto final deve ter 4 algarismos significativos.
- Arredondando
para 4 algarismos significativos dá . - Detalhe: os quatro algarismos são 4, 8, 1, 5; o próximo dígito é 5, então o último 5 é arredondado para 6 →
.
- Detalhe: os quatro algarismos são 4, 8, 1, 5; o próximo dígito é 5, então o último 5 é arredondado para 6 →
- Calcular
.
- Valor numérico:
(valor calculado com precisão). - Regra:
tem 4 algarismos significativos, então deve ser apresentado com 4 algarismos significativos. - Arredondando
para 4 algarismos significativos obtém-se . - Aqui os algarismos significativos são 3, 5, 1, 2; o próximo dígito é 8 → o 2 vira 3 →
.
- Aqui os algarismos significativos são 3, 5, 1, 2; o próximo dígito é 8 → o 2 vira 3 →
- Somar os dois termos:
(já arredondado para ) e (já arredondado para ).
- Regra de adição: o resultado deve ser arredondado para o menor número de casas decimais entre os termos somados.
-
tem 2 casas decimais. -
tem 4 casas decimais. - Portanto o resultado deve ser arredondado para 2 casas decimais.
-
- Soma numérica (com os valores arredondados usados como medidas):
. - Arredondando para 2 casas decimais:
.
Comentário pedagógico: algumas pessoas preferem manter maior precisão interna e só arredondar no final; aqui segui a regra prática consistente com a manipulação de medidas: cada termo (função aplicada a medida) foi reportado com seus algarismos significativos antes da adição, e a soma seguiu a regra de casas decimais. Resultado final para a primeira expressão:
.
Passo 4
Calcular a segunda parte:
com
em radianos.
- Determinar
para rad.
- Como
é grande, primeiro reduzimos módulo para facilitar o cálculo: -
. -
dá quociente inteiro (pois ). - Resto:
. - Logo
.
-
- Observação:
(pois ), então (seno negativo nesse quadrante). - Calcular
por série ou aproximação numérica: - Usando desenvolvimento em série e termos até quinta ou sétima ordem (mostrei o raciocínio na análise), obtemos
. - Portanto
.
- Usando desenvolvimento em série e termos até quinta ou sétima ordem (mostrei o raciocínio na análise), obtemos
- Regra:
tem 4 algarismos significativos, então o valor deve ser apresentado com 4 algarismos significativos. - Arredondando
para 4 algarismos significativos: . - (dígitos significativos 7,6,9,3 e próxima casa 8 → 3 arredonda para 4).
- Calcular
.
-
→ . - Tratando
como exato, o número de algarismos significativos do produto é o mesmo dos fatores medidos; tem 4 algarismos significativos, então tem 4 algarismos significativos: (já com 4 algarismos).
- Multiplicar
por :
- Valores usados:
(4 sf) e (4 sf). - Produto numérico:
(valor calculado). - Regra de multiplicação: resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos que o fator com menor número de algarismos significativos; ambos têm 4 sf, então o produto deve ter 4 sf.
- Arredondando
para 4 algarismos significativos: - os quatro primeiros algarismos significativos são 1, 8, 9, 8; o próximo é 8 → o quarto algarismo (8) arredonda para 9.
- Resultado final:
.
Comentário: mantive a lógica de arredondar
para 4 algarismos significativos antes da multiplicação porque
é função aplicada à medida
; esse valor arredondado multiplica
e a regra de multiplicação determina o número de algarismos no produto final.