Questão 5: A parede de um forno utilizado para tratar peças plásticas possui 5 cm de espessura e condutividade térmica \mathrm{k}=2,7 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}). A sua superfície externa está exposta ao ar e a uma grande vizinhança, sendo que temperatura do ar e da vizinhança é igual a 30^{\circ} \mathrm{C}. Considere que a temperatura da superfície externa seja igual a 80^{\circ} \mathrm{C}, e o seu coeficiente de transferência de calor por convecção e a sua emissividade sejam iguais a h=30 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) e \varepsilon=0,45; respectivamente.
a) Determine qual é o fluxo de calor através da parede deste forno.
b) Calcule qual é a temperatura da superfície interna da parede do forno.
c) A perda de calor por radiação poderia ser desprezada nesta análise? Justifique sua reposta através de cálculos.

Passo 1

O problema trata de transferência de calor em regime permanente através de uma parede plana de espessura L=5\,\text{cm}=0,05\,\text{m} e condutividade térmica k=2,7\,\mathrm{W/(m\cdot K)}. A superfície externa está a T_o=80\,^\circ\mathrm{C} e troca calor com o ar/ambiente a T_\infty=30\,^\circ\mathrm{C} por convecção (coeficiente h=30\,\mathrm{W/(m^2\cdot K)}) e por radiação (emissividade \varepsilon=0,45).
a) Vamos usar a analogia de resistências térmicas na parede e nas trocas externas para achar o fluxo por unidade de área q''.
b) Em seguida, aplicaremos a lei de Fourier para determinar a temperatura da superfície interna T_i.
c) Por fim, calcularemos a parcela de calor perdido por radiação e compararemos com a convecção para avaliar se a radiação pode ser desprezada.

Passo 2

Calcular o coeficiente de troca por radiação linearizado h_r. Usa-se a expressão
h_r = \varepsilon\,\sigma\,(T_{o,K}+T_{\infty,K})\,(T_{o,K}^2+T_{\infty,K}^2),
onde \sigma=5{,}67\times10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2K^4)}, T_{o,K}=80+273{,}15=353{,}15\,\mathrm{K} e T_{\infty,K}=30+273{,}15=303{,}15\,\mathrm{K}.
Calculando:
T_{o,K}+T_{\infty,K}=656{,}30,\quad T_{o,K}^2+T_{\infty,K}^2=353{,}15^2+303{,}15^2\approx216\,623,
h_r=0,45\cdot5,67\times10^{-8}\cdot656{,}30\cdot216\,623\approx3{,}63\,\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Logo o coeficiente total é
h_{tot}=h+h_r=30+3{,}63=33{,}63\,\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 3

O fluxo de calor por unidade de área da superfície externa ao ambiente é
q''=h_{tot}\,(T_o-T_\infty)
Logo
q''=33{,}63\,(80-30)=33{,}63\times50\approx1\,681{,}5\;\mathrm{W/m^2}.

Passo 4

Para encontrar a temperatura interna T_i usamos a lei de Fourier na parede:
q'' = \frac{k}{L}\,(T_i-T_o).
Rearranjando,
T_i = T_o + \frac{q''\,L}{k} = 80 + \frac{1\,681{,}5\times0{,}05}{2{,}7} \approx 80 + 31{,}14 = 111{,}1\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Para avaliar se a radiação pode ser desprezada, comparamos
q''_{rad}=h_r\,(T_o-T_\infty)=3{,}63\times50\approx181{,}5\,\mathrm{W/m^2},
q''_{conv}=h\,(T_o-T_\infty)=30\times50=1\,500\,\mathrm{W/m^2}.
A parcela radiativa corresponde a
\frac{q''_{rad}}{q''_{conv}}\approx\frac{181{,}5}{1\,500}\approx0{,}12\,(12\%).
Para erros aceitáveis de até 10 %, ignorar a radiação introduziria mais de 10 % de erro no cálculo do fluxo.

Resposta

a) q''\approx1\,681{,}5\;\mathrm{W/m^2}.
b) T_i\approx111{,}1\,^\circ\mathrm{C}.
c) Não se pode desprezar a perda por radiação se o critério for erro menor que 10 %, pois ela representa cerca de 12 % do total de perda de calor.

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