Questão 3: Um secador de cabelo é fabricado pelo enrolamento de um fio de níquel cromo e passagem do ar em escoamento cruzado ao fio. Considere um aquecedor fabricado com um fio de diâmetro D=4 \mathrm{~mm}, condutividade térmica \mathrm{k}=29 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}), emissividade \varepsilon=0,25 e resistividade elétrica \rho_{\mathrm{e}}=7,5 \times 10^{-5} \Omega. m . O secador é projetado para fornecer ar a uma temperatura de \mathrm{T}_{\infty}=50^{\circ} \mathrm{C} sob condições de escoamento que fornecem um coeficiente convectivo na superfície do fio de h=160 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right). A temperatura do envoltório que envolve o fio e por meio do qual o ar escoa é igual a \mathrm{T}_{\text {viz }}=42^{\circ} \mathrm{C}.

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Engenharia Mecânica
Transferência de Calor - 8^{\circ} Período - Noite
Gustavo Fonseca de Freitas Maia

Exercício 1-19 de agosto de 2025-3 pontos
Se a temperatura máxima admissível do fio é igual a T_{\text {máx }}=1200 \mathrm{~K}á, qual é a corrente elétrica máxima admissível, I? Se a voltagem máxima disponível é de \Delta \mathrm{E}=110 \mathrm{~V}, quais são o comprimento L do fio que pode ser usado no aquecedor e a potência nominal do aquecedor? Sugestão: na sua solução, suponha variação de temperatura no interior do fio desprezível.

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico de diâmetro D=4\\ \mathrm{mm} que é aquecido pela passagem de corrente e perde calor por convecção ao ar h=160\\ \mathrm{W/(m^2K)}, T_\infty=50^\circ\mathrm C e por radiação para o envoltório a T_{\text{viz}}=42^\circ\mathrm C. A temperatura máxima admissível do fio é T_s=T_{\max}=1200\\ \mathrm K. Supondo temperatura uniforme no fio, faremos o balanço de potência por unidade de comprimento:
I^2 R' \;=\; q'_{\text{conv}} \;+\; q'_{\text{rad}}.
Precisamos
  1. calcular a resistência por comprimento R'=\rho_e/A,
  2. calcular as perdas convectiva e radiativa por comprimento,
  3. igualar à potência elétrica e determinar I,
  4. achar o comprimento L para \Delta E=110\\ \mathrm V e a potência nominal P=\Delta E\,I.

Passo 2

Área da seção transversal do fio e resistência por unidade de comprimento
A = \frac{\pi D^2}{4} \quad,\quad R' = \frac{\rho_e}{A}.
Substituindo D=0{,}004\\ \mathrm m e \rho_e=7{,}5\times10^{-5}\\ \Omega\cdot\mathrm m:
A = \frac{\pi (0,004)^2}{4} = 1{,}256\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}, \quad R' = \frac{7{,}5\times10^{-5}}{1{,}256\times10^{-5}} \approx 5{,}97\\ \Omega/\mathrm m.

Passo 3

Perda convectiva por unidade de comprimento
q'_{\text{conv}} = \pi D\,h\,(T_s - T_\infty),
onde T_\infty=50^\circ\mathrm C=323\\ \mathrm K.
Logo
q'_{\text{conv}} = \pi\,(0{,}004)\,(160)\,(1200 - 323) \approx 1{,}76\times10^3\\ \mathrm{W/m}.

Passo 4

Perda radiativa por unidade de comprimento
q'_{\text{rad}} = \pi D\,\varepsilon\,\sigma\,(T_s^4 - T_{\text{viz}}^4),
com \varepsilon=0{,}25, \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2K^4)} e T_{\text{viz}}=42^\circ\mathrm C=315\\ \mathrm K.
Calculemos
T_s^4 - T_{\text{viz}}^4 \approx (1200)^4 - (315)^4 = 2{,}0638\times10^{12}\\ \mathrm{K^4},
então
q'_{\text{rad}} = \pi\,(0{,}004)\,(0{,}25)\,(5{,}67\times10^{-8})\,(2{,}0638\times10^{12}) \approx 3{,}68\times10^2\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

Balanço de energia por metro de fio
I^2\,R' = q'_{\text{conv}} + q'_{\text{rad}} \quad\Longrightarrow\quad I^2 = \frac{q'_{\text{conv}} + q'_{\text{rad}}}{R'}.
Substituindo valores
I^2 = \frac{1{,}76\times10^3 + 3{,}68\times10^2}{5{,}97} \approx 359{,} \quad I \approx 18{,}9\\ \mathrm A.

Passo 6

Com I=18{,}9\\ \mathrm A e \Delta E=110\\ \mathrm V, a resistência total do fio é
R_{\text{tot}} = \frac{\Delta E}{I} = \frac{110}{18{,}9}\approx5{,}82\\ \Omega.
Como R_{\text{tot}}=\rho_e\,L/A, o comprimento admissível é
L = \frac{R_{\text{tot}}\,A}{\rho_e} = \frac{5{,}82\cdot1{,}256\times10^{-5}}{7{,}5\times10^{-5}} \approx0{,}97\\ \mathrm m.
A potência nominal do aquecedor é
P = \Delta E \times I = 110\\ \mathrm V \times 18{,}9\\ \mathrm A \approx2{,}08\\ \mathrm{kW}.

Resposta

I _{\max}\approx18{,}9\\ \mathrm A
L \approx0{,}97\\ \mathrm m
P _{\text{nom}}\approx2{,}08\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados