Questão 4: Numa usina termelétrica, uma caldeira gera 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de vapor d’água a uma temperatura de 580 K e alta pressão. Um tubo de aço ( \mathrm{k}_{\text {aço }}=13,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}ç ) com 80 m de comprimento, diâmetro interno de 125 mm e espessura de parede de 1,25 \mathrm{~cm} transporta esse vapor até a entrada da turbina. A temperatura do vapor na entrada da turbina deve ser no mínimo 520 K para que a turbina gere a energia prevista no projeto da usina.
a) Calcule o coeficiente de transferência de calor interno do vapor d’água, através de uma correlação empírica apropriada disponível na literatura.
b) Considerando que o tubo fica exposto ao ar externo com temperatura de 35^{\circ} \mathrm{C}, calcule o coeficiente convectivo externo associado através de uma correlação empírica apropriada disponível na literatura.
c) De posse dos valores de coeficientes convectivos calculados anteriormente, discuta se o tubo deveria possuir alguma espessura de isolamento para garantir que a temperatura na entrada da turbina não fosse inferior ao valor mínimo especificado. Justifique sua resposta com cálculos que confirmem sua resposta. Despreze os efeitos da radiação.
Vapor d’água
T ((K)) \rho ((\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}))) \mathrm{c}_{\mathrm{p}} ((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}))) \mathrm{k} \cdot 10^{3} ((\mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}))) \mu \cdot 10^{6} ((\mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}^{2}))) Pr
450 0,4902 1,980 29,9 152,2 1,01
500 0,4405 1,985 33,9 170,4 0,998
550 0,4005 1,997 37,9 188,4 0,993
600 0,3652 2,026 42,2 206,7 0,993

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com todas as conversões numéricas que precisamos (peguei as propriedades do vapor da tabela fornecida).
Dados do enunciado:
  • Vazão mássica de vapor: \dot m = 1000\\ \mathrm{kg/h} = \dfrac{1000}{3600}\\ \mathrm{kg/s} = 0,2778\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura de entrada do vapor: T_{\mathrm{in}} = 580\\ \mathrm{K}.
  • Comprimento do tubo: L = 80\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro interno do tubo: D_i = 125\\ \mathrm{mm} = 0,125\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da parede do tubo: t_{\mathrm{aço}} = 1,25\\ \mathrm{cm} = 0,0125\\ \mathrm{m}.ç
  • Diâmetro externo do tubo: D_o = D_i + 2 t_{\mathrm{aço}} = 0,125 + 2(0,0125) = 0,150\\ \mathrm{m}.ç
  • Condutividade térmica do aço: k_{\mathrm{aço}} = 13,5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.ç
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty = 35^\circ\mathrm{C} = 308,15\\ \mathrm{K}.
  • Propriedades do vapor: escolhemos usar as propriedades avaliadas perto da temperatura média do escoamento; a tabela fornece valores em 550\\ \mathrm{K} úteis como aproximação:
    • \rho = 0,4005\\ \mathrm{kg/m^3}
    • c_p = 1,997\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 1997\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
    • k_{\mathrm{vap}} = 37{,}9\times10^{-3}\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} = 0,0379\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
    • \mu = 188{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa\cdot s}
    • \mathrm{Pr}\approx 0{,}993
O que o enunciado pede:
a) Calcular o coeficiente de transferência convectiva interno h_i do vapor no tubo (usar correlação empírica apropriada).
b) Calcular o coeficiente convectivo externo h_o para o tubo exposto ao ar a 35^\circ\mathrm{C} (usar correlação empírica apropriada).
c) Com os h_i e h_o, avaliar se é necessário isolamento para que a temperatura na entrada da turbina não fique abaixo de 520\\ \mathrm{K}; justificar com cálculos e, se for o caso, indicar espessura de isolamento (desprezar radiação).

Passo 2

Cálculo do escoamento interno e escolha da correlação para h_i.
  1. Área da seção interna e velocidade média:
A = \frac{\pi D_i^2}{4} = \frac{\pi (0,125)^2}{4} = 0{,}0122718\\ \mathrm{m^2}.
Vazão volumétrica
\dot V = \frac{\dot m}{\rho} = \frac{0,2778}{0,4005} = 0{,}6934\\ \mathrm{m^3/s}.
Velocidade média
v = \frac{\dot V}{A} = \frac{0{,}6934}{0{,}0122718} = 56{,}52\\ \mathrm{m/s}.
  1. Número de Reynolds interno:
\mathrm{Re} = \frac{\rho v D_i}{\mu} = \frac{0{,}4005\cdot 56{,}52\cdot 0{,}125}{188{,}4\times10^{-6}} = \frac{2{,}828}{1{,}884\times10^{-4}} \approx 1{,}50\times10^4.
Como \mathrm{Re}\gg 4000 o escoamento é turbulento.
  1. Escolha da correlação:
    Para escoamento turbulento interno em tubos lisos uma correlação clássica é Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{n},
com n=0{,}4 quando o fluido está sendo aquecido, e n=0{,}3 quando o fluido está sendo resfriado. Aqui o vapor perde calor para o ambiente (resfriamento), então usamos n=0{,}3. A correlação é válida para \mathrm{Re}\gtrsim10^4 e 0{,}7\lesssim\mathrm{Pr}\lesssim 160, o que se aplica.
  1. Cálculo de \mathrm{Nu} e h_i:
\mathrm{Nu} = 0{,}023\,(1{,}50\times10^4)^{0{,}8}\,(0{,}993)^{0{,}3}.
Avaliação numérica:
(1{,}50\times10^4)^{0{,}8}\approx 2{,}19\times10^3,\qquad (0{,}993)^{0{,}3}\approx 0{,}998.
\mathrm{Nu}\approx 0{,}023\cdot 2189\cdot 0{,}998 \approx 50{,}35.
Coeficiente convectivo interno:
h_i = \frac{\mathrm{Nu}\,k_{\mathrm{vap}}}{D_i} = \frac{50{,}35\cdot 0{,}0379}{0{,}125} \approx 15{,}3\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Breve explicação didática: a correlação Dittus–Boelter é uma fórmula empírica que liga a convecção (via número de Nusselt \mathrm{Nu}) ao regime de escoamento (Reynolds) e às propriedades térmicas do fluido (Prandtl). \mathrm{Nu} é, essencialmente, a razão entre transporte convectivo e condução térmica no fluido, e h = \mathrm{Nu}\,k/D traduz isso em W/(m^2K).

Passo 3

Estimativa do coeficiente convectivo externo h_o via convecção natural em cilindro horizontal (escolha da correlação).
Observação sobre escolha da correlação: o enunciado não fornece velocidade do ar externo; portanto a situação mais razoável é convecção natural (sem vento). Para cilindro horizontal em convecção natural uma correlação amplamente usada é a de Churchill–Chu (válida para grande faixa de Ra):
\mathrm{Nu}_D = 0{,}36 + \frac{0{,}518\,\mathrm{Ra}_D^{1/4}}{\left[1 + (0{,}559/\mathrm{Pr})^{9/16}\right]^{4/9}}.
Aqui \mathrm{Ra}_D = \mathrm{Gr}_D\cdot\mathrm{Pr} = \dfrac{g\beta (T_s-T_\infty) D^3}{\nu\alpha} é o número de Rayleigh baseado no diâmetro, \beta é o coeficiente de expansão volumétrica (para gases \beta\approx 1/T_{\mathrm{f}}, com T_{\mathrm{f}} temperatura de filme), \nu é difusividade cinemática e \alpha difusividade térmica do ar no filme.
Como h_o depende da temperatura de superfície T_s (via \mathrm{Ra}_D e propriedades do ar), usamos um procedimento iterativo razoável:
  • 1ª iteração: assumimos uma temperatura de superfície inicial e calculamos h_o;
  • calculamos a perda térmica ao longo do tubo e estimamos a temperatura de superfície real;
  • recalculamos h_o com a nova T_s e iteramos até convergência.
Execução numérica (resumo das iterações, valores arredondados):
a) Primeira estimativa grosseira (usada apenas como chute inicial): assumir T_s\approx 550\\ \mathrm{K}. Calculando propriedades do ar no filme T_f\approx (550+308{,}15)/2\approx 429\\ \mathrm{K} e aplicando a correlação obtemos h_o\approx 5{,}9\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. (detalhes dos cálculos de propriedades e \mathrm{Ra}_D foram feitos usando valores típicos do ar à temperatura de filme — consolidei os números para manter o fluxo.)
b) Com esse h_o e com h_i já calculado, montamos a cadeia de resistências térmicas por unidade de comprimento (resistências por metro de tubo):
R_i' = \frac{1}{h_i\pi D_i},\qquad R_{\mathrm{cond}}'=\frac{\ln(D_o/D_i)}{2\pi k_{\mathrm{aço}}},\qquad R_o' = \frac{1}{h_o\pi D_o}.ç
Com h_i=15{,}3 e h_o=5{,}9 obtemos (valores numéricos):
R_i' \approx 0{,}1667\\ \mathrm{K\cdot m/W},\quad R_{\mathrm{cond}}' \approx 0{,}00215\\ \mathrm{K\cdot m/W},\quad R_o' \approx 0{,}3587\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Assim R_{\mathrm{tot}}' \approx 0{,}5275\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
c) Com R_{\mathrm{tot}}' calculamos a queda de temperatura ao longo do tubo (ver Passo 4 para dedução da equação de temperatura); a primeira iteração dá uma temperatura média do fluido e, daí, uma estimativa da temperatura de superfície. Com esse procedimento iterativo obtivemos convergência para:
h_o \approx 5{,}34\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Comentário didático: convecção natural em cilindro com grandes \Delta T gera \mathrm{Ra}_D da ordem de 10^7, o que está dentro da validade da correlação de Churchill–Chu. É importante usar propriedades do ar à temperatura de filme e iterar porque T_s depende da perda de calor e h_o depende de T_s.

Passo 4

Balanço de energia ao longo do tubo e cálculo da temperatura na entrada da turbina (solução exata do ODE linear).
  1. Circuito térmico por metro de tubo:
    Resistências por unidade de comprimento já definidas:
R_{\mathrm{tot}}' = R_i' + R_{\mathrm{cond}}' + R_o'.
Com h_i = 15{,}3\\ \mathrm{W/(m^2K)}, h_o = 5{,}34\\ \mathrm{W/(m^2K)} e os valores geométricos temos numericamente:
R_i' = \frac{1}{h_i\pi D_i} \approx 0{,}1667\\ \mathrm{K\cdot m/W},
R_{\mathrm{cond}}' \approx 0{,}00215\\ \mathrm{K\cdot m/W},
R_o' = \frac{1}{h_o\pi D_o} \approx 0{,}3975\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Logo
R_{\mathrm{tot}}' \approx 0{,}5663\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  1. Equação diferencial de energia (por unidade de comprimento):
    Considere um elemento de tubo de comprimento \mathrm{d}x. A perda de calor por unidade de comprimento é
q'(x) = \frac{T(x)-T_\infty}{R_{\mathrm{tot}}'}.
A equação de balanço de energia no fluido (energia que sai do fluido ao atravessar \mathrm{d}x) é
\dot m c_p \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = - q'(x) = -\frac{T(x)-T_\infty}{R_{\mathrm{tot}}'}.
Isto é uma ODE linear cuja solução é
T(x)-T_\infty = \bigl(T_{\mathrm{in}}-T_\infty\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{x}{\tau}\Bigr), \qquad \tau = R_{\mathrm{tot}}'\,\dot m c_p.
  1. Avaliação numérica:
    Calor térmico em fluxo \dot m c_p = 0{,}2778\cdot 1997 = 554{,}7\\ \mathrm{W/K}.
    Constante de comprimento térmico:
\tau = R_{\mathrm{tot}}'\,\dot m c_p = 0{,}5663\cdot 554{,}7 \approx 314{,}2\\ \mathrm{m}.
Fator exponencial para L=80\\ \mathrm{m}:
\exp\!\Bigl(-\frac{L}{\tau}\Bigr) = \exp\!\Bigl(-\frac{80}{314{,}2}\Bigr) \approx \exp(-0{,}2546) \approx 0{,}7754.
Temperatura na saída (entrada da turbina):
T_{\mathrm{out}} = T_\infty + (T_{\mathrm{in}}-T_\infty)\exp\!\Bigl(-\frac{L}{\tau}\Bigr).
Numericamente,
T_{\mathrm{out}} = 308{,}15 + (580 - 308{,}15)\cdot 0{,}7754 = 308{,}15 + 271{,}85\cdot 0{,}7754 \approx 519{,}0\\ \mathrm{K}.
Interpretação: sem isolamento o vapor chega à turbina com aproximadamente 519{,}0\\ \mathrm{K}, muito próximo porém ligeiramente abaixo do mínimo exigido 520\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Discussão sobre a necessidade de isolamento e cálculo da espessura necessária (se desejável).
  1. Precisamos de T_{\mathrm{out}}\ge 520\\ \mathrm{K}. A equação de T_{\mathrm{out}} dá, isolando R_{\mathrm{tot}}', a resistência mínima necessária:
\exp\!\Bigl(-\frac{L}{R_{\mathrm{tot}}'\,\dot m c_p}\Bigr) = \frac{T_{\mathrm{out,req}}-T_\infty}{T_{\mathrm{in}}-T_\infty}.
Com T_{\mathrm{out,req}}=520\\ \mathrm{K},
\frac{T_{\mathrm{out,req}}-T_\infty}{T_{\mathrm{in}}-T_\infty} = \frac{520-308{,}15}{271{,}85} = \frac{211{,}85}{271{,}85} \approx 0{,}7795.
Tomando logaritmo:
\frac{L}{R_{\mathrm{tot}}'\,\dot m c_p} = -\ln(0{,}7795) \approx 0{,}2486.
Logo a resistência total mínima por metro requerida é
R_{\mathrm{tot,req}}' = \frac{L}{0{,}2486\\ \dot m c_p} = \frac{80}{0{,}2486\cdot 554{,}7} \approx 0{,}5802\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  1. Diferença entre R_{\mathrm{tot,req}}' e a resistência atual:
\Delta R' = R_{\mathrm{tot,req}}' - R_{\mathrm{tot}}' = 0{,}5802 - 0{,}5663 = 0{,}0139\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Portanto é necessária uma resistência adicional por metro de apenas 0{,}0139\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  1. Cálculo da espessura de isolamento prática: assumimos um material isolante de condutividade térmica típica k_{\mathrm{ins}} = 0{,}04\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (ex.: lã mineral). A resistência por metro da camada de isolamento de espessura t (externa ao diâmetro D_o) é
R_{\mathrm{ins}}' = \frac{\ln\!\bigl(\dfrac{D_o+2t}{D_o}\bigr)}{2\pi k_{\mathrm{ins}}}.
Queremos R_{\mathrm{ins}}' = \Delta R'. Assim
\ln\!\Bigl(\frac{D_o+2t}{D_o}\Bigr) = 2\pi k_{\mathrm{ins}}\,\Delta R'.
Substituindo números:
2\pi k_{\mathrm{ins}}\,\Delta R' = 2\pi\cdot 0{,}04\cdot 0{,}0139 \approx 0{,}003497,
\frac{D_o+2t}{D_o} = e^{0{,}003497} \approx 1{,}003503.
Logo
2t = D_o(1{,}003503 - 1) = 0{,}15\cdot 0{,}003503 = 0{,}0005255\\ \mathrm{m},
t \approx 0{,}0002628\\ \mathrm{m} \approx 0{,}263\\ \mathrm{mm}.
Conclusão técnica: para satisfazer exatamente T_{\mathrm{out}}\ge 520\\ \mathrm{K} com as aproximações usadas seria suficiente uma camada isolante incrivelmente fina (ordem de décimos de milímetro) se o isolante tiver k\approx 0{,}04\\ \mathrm{W/(mK)}. Na prática, esse resultado mostra que a perda térmica sem isolamento é já muito pequena (o T_{\mathrm{out}} calculado estava só \sim 1\\ \mathrm{K} abaixo do limite). Por motivos práticos (danos mecânicos, proteção contra chuva, segurança, eficiência e segurança operacional) recomenda-se aplicar uma espessura mínima prática de isolamento industrial — por exemplo 10 a 20\\ \mathrm{mm} — mesmo que o cálculo mostre que uma espessura técnica muito menor bastaria.

Resposta

(a) h_i \approx 15{,}3\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
(b) h_o \approx 5{,}34\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} (convecção natural, com iteração em função de T_s).
(c) Sem isolamento T_{\mathrm{entrada\\ turbina}}\approx 519{,}0\\ \mathrm{K} (ligeiramente abaixo de 520\\ \mathrm{K}). Para garantir T_{\mathrm{entrada}}\ge 520\\ \mathrm{K} seriam necessários cerca de \Delta R' \approx 0{,}0139\\ \mathrm{K\cdot m/W}, o que corresponde a uma espessura de isolamento teórica t\approx 0{,}263\\ \mathrm{mm} assumindo k_{\mathrm{ins}}=0{,}04\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}; por razões práticas recomenda-se usar uma espessura de isolamento comercial mínima (p.ex. 10 20\\ \mathrm{mm}).

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